Функция. Действительные числа. Предел функции. Односторонние пределы функции.

Совокупность рациональных Q и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел R. Между множе­ством точек прямой и множеством R всегда можно установить взаимно однозначное соответствие. Если это соответствие установлено, то прямую называют числовой осью. Совокупность всех чисел х, удовле­творяющих условию а<х<b (а х b), называется интервалом (от­резком) и обозначается (a; b) ([а; b]).

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а назы­вают неотрицательное число |а|, определяемое условиями: =а, если а0, и = -а , если а < 0. Для любых действительных чисел а и b верно неравенство |а+ b| |а|+| b|.

Если каждому элементу х D по определенному правилу f поставлен в соответствие единственный элемент у, то говорят, что задана функция y=f(x), где х называется независимой переменной или аргументом. Множество D называется областью определения функции, а множество значений, принимаемых функцией у, называется областью ее значений (изменения) и обозначается буквой Е. В дальнейшем будем считать множества D и Е числовыми, т. Е. будем рассматривать числовые функции (если не оговорено противное). В качестве D и Е могут быть взяты отрезок [а; b], интервал (а; b), полуинтервалы (a; b] или [а; b),отдельные точки числовой оси, а также вся числовая ось (—; +).

Основными способами задания функций являются: табличный, гра­фический, аналитический. При аналитической записи функции y=f(x) часто не указываются области D и Е, но они естественным образом определяются из свойств функции f(x).

Если функция y=f(x) осуществляет взаимно однозначное отобра­оляе области D на область Е, то можно однозначно выразить х через у: х=g(у). Последняя функция называется обратной по отноше­нию к функции у=f(х). Для функции x=g(y) множество Е является областью определения, а D — областью значений. Так как g(f(х)) х и f (g(у)) у, то функции у=f(х) и х= g(у) – взаимно обратные. Обратную функцию х=g(у) обычно переписывают в стандартном виде: у=g(х), поменяв х и у местами. Взаимно обратными являются пары функций: у=х³ и у=, у=2^х и у = log₂ х, у=sinх и у=arcsin x, для которых области определения соответственно следующие: х(-;+) и х (—;+ ), х(-;+) и х (0; +), х(-;+) и х [-1; +1].

Если функция u=(x) определена на области D, G — ее область значений, функция у=f(u) определена на области G, то функция у=f((х))=F(х) называется сложной функцией, составленной из функций f и , или функцией f от функции .

Функцию у=f((х)) называют композицией двух функций у=f(u) и u=(x). Сложная фуниция может быть композицией большего числа функций: трех, четырех и т. Д.

Функции вида у=f(х) называются явными. Уравнение вида F(х, у)=0 также задает, вообще говоря, функциональную зависи­мость между х и у. В этом случае по определению у является неявной функцией х. Например, уравнение у³+х³=8 определяет у как неявную функцию от х.

Графиком функции у=f(х) называется множество точек М(х, у) плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют функциональной зависимости у=f(х). Графики взаимно обратных функций у=f(х) и у=g(х) симметричны относительно биссектрисы х=у.

Лекция 9