Предел функции. Основные теоремы о пределах

Число А называется пределом числовой последовательности {х_n}, если для любого >0 существует номер N=N()>0, такой, что для всех п>N выполняется неравенство |х_п—A|<. Если А – предел последовательности {х_n}, то это записывается следующим образом

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Пусть функция у=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀. Тогда число А называется пределом функции у=f(х) при хх₀ (в точке х=х₀), если для любого >0 существует =()>0, такое, что при 0 <|х—х₀|< справедливо неравенство |f(х)-А|<.

Если А – предел функции f(х) при хх₀, то записывают это так

В самой точке х₀ функция f(х) может и не существовать (f(х₀) не опре­делено). Аналогично запись обозначает, что для любого >0 существует N=N()>0, такое, что при |х|>N выполняется неравенство |f(х)-А|<.

Если существует предел вида , который обозначают также или f(х₀-0), то он называется пределом слева функции f(х) в точке x₀. Аналогично если существует предел вида (в другой записи илиf(x₀+0)), то он называется пределом справа функции f(х) в точке x₀. Пределы слева и справа называются односто­ронними. Для существования предела функции f(х) в точке x₀ необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела в точке x₀ существовали и были равны, то есть f(x₀-0)=f(x₀+0).

Справедливы следующие основные теоремы о пределах.

Теорема 1. Пусть существуют (i=1,…, п). Тогда

Теорема 2. Пусть существуют и Тогда

Эти утверждения сохраняются и при х₀ =.

Если условия этих теорем не выполняются, то могут возникнуть неопределенности вида -,,и др., которые в простейшихслучаях раскрываются с помощью алгебраических преобразований.