logo search
Самоучитель по Maple

21. Пример документа — разложение синуса в ряд Пример документа — разложение синуса в ряд

Полезно сочетать разложение выражений (функций) в ряд Тейлора с графической визуализацией такого разложения. Рассмотрим документ, в котором наглядно показаны возможности представления функции рядами Тейлора и Маклорена. На рис. 8.8 показана первая часть документа. Она дает пример разложения в ряд Тейлора функции sin(x) с построением ее графика и графика по разложению в ряд. Поскольку выбрано разложение относительно точки х = 0, то полученный ряд является рядом Маклорена. Это хороший пример визуализации результатов математических вычислений — здесь наглядно видно, что при малых значениях х график ряда практически повторяет разлагаемую функцию, но затем начинает сильно от нее отходить.

Обратите внимание, несмотря на то что мы задали шестой порядок ряда, последний член имеет только пятый порядок. Это связано со спецификой данного разложения — в нем просто отсутствуют члены четного порядка. Можно буквально в считанные секунды попробовать изменить число членов ряда или диапазон изменения переменной х, что и показано на рис. 8.9 (вторая часть документа). При этом легко убедиться в том, что при больших х поведение ряда не имеет ничего общего с поведением разлагаемой в ряд функции, в частности нет и намека на периодичность разложения, которая присуща тригонометрической функции sin(x).

В заключительной (третьей) части этого документа (рис. 8.10) представлено уже истинное разложение синуса в ряд Тейлора в окрестности смещенной от нуля точки х = 1. При смещении точки, относительно которой ведется разложение, выражение для ряда Тейлора существенно изменяется. В нем, во-первых, появляются члены четных степеней, а во-вторых, фигурирует аргумент вида (х- 1)n. Нетрудно заметить, что даже при представлении такой «простой» функции, как sin(x), приемлемая погрешность представления одного периода достигается при числе членов ряда Тейлора порядка 10 и более. Однако существенное повышение порядка ряда нецелесообразно из-за резкого возрастания вычислительных погрешностей. Кроме того, серьезным недостатком аппроксимации рядом Тейлора является непредсказуемое поведение полинома вдали от точки, относительно которой задается представление. Это хорошо видно на всех трех приведенных примерах.

Рис. 8.8. Разложение функции sin(x) в ряд Маклорена 6-го порядка и построение ее графика

Рис. 8.9.Разложение функции sin(x) в ряд Маклорена 12-го порядка и построение ее графика

a

б

Рис. 8.10. Разложение функции sin(x) в ряд Тейлора 12-го порядка относительно точки х = 1 и построение ее графика

Помимо указанных выше разложений в ряд Maple 7 имеет множество функций для иных разложений. Например, в пакете numapprox имеется функция laurent(expr,var,n), позволяющая получить разложение в ряд Лорана, функция chebyshev(expr, eq/nm, eps) дает разложение в форме полиномов Чебышева и т. д.

64.gif

65.gif

66.gif

82.gif

22. Решение уравнений и неравенств

Решение уравнений и неравенств

Основная функция solve

Решение линейных и нелинейных уравнений и неравенств — еще одна важная область математического анализа. Maple 7 имеет мощные средства для такого решения. Так, для решения линейных и нелинейных уравнений в аналитическом виде используется достаточно универсальная и гибкая функция solve(eqn, var) или so1ve({eqnl,eqn2,.. .}.{varl,var2,...}), где eqn — уравнение, содержащее функцию ряда переменных, var — переменная, по которой ищется решение, Если при записи eqn не используются знак равенства или знаки отношения, считается, что solve ищет корни уравнения eqn=0.

Характер решений можно изменить с помощью глобальных переменных:

В решениях могут встречаться следующие обозначения:

В форме solve[subtopic] возможны параметры subtopic функции solve следующих типов:

floats functions identity ineq linear

radical scalar series system

При решении систем уравнений они и список переменных задаются как множества, то есть в фигурных скобках. При этом и результат решения получается в виде множества. Чтобы преобразовать его к обычному решению, нужно использовать функцию assign, которая обеспечивает присваивание переменным значений, взятых из множества.

Функция solve старается дать решение в аналитическом виде. Это не означает, что ее нельзя использовать для получения корней уравнений в численном виде. Просто для этого придется использовать функции evalf или convert. Если результат решения представлен через функцию RootOf, то зачастую можно получить все корни с помощью функции all values.