Определители и их свойства.

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

(1)

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1), называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством

.(2)

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (2) берутся со знаком «+», а какие со знаком «-«, полезно использовать следующее правило треугольников.

+ -

Пример.

Сформулируем основные свойства для определителей третьего порядка, хотя они присущи определителям любого порядка.

1. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т. Е.

=

2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

== −

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число λ равносильно умножению определителя на это число λ.

= λ

5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент n-го столбца (n-ой строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-ом столбце (n-ой строке) содержит первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

Например,

=+

8⁰. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель , то величена определителя не изменится.

Например,

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минором элемента а₁ определителя Δ является определитель 2-го порядка

.

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)^p, где р- сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Если, например, элемент а₂ находятся на пересечении 1-го столбца и 2-ой строки, то для него р=1+2=3 и алгебраическим дополнением является

9⁰. Определитель равен сумме произведений элементов какого–либо столбца или строки на их алгебраические дополнения.

10⁰. Сумма произведений элементов какого–либо столбца или какой–либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки равны нулю.

Как было сказано выше, вернемся к понятию обратной матрицы. Обратная матрица существует не у всякой квадратной матрицы, а лишь у так называемых невырожденных матриц, то есть таких определитель которых отличен от нуля. Для невырожденной квадратной матрицы

третьего порядка обратная матрица А^-1 может быть вычислена по следующей формуле

здесь Δ – определитель матрицы А, A_ij – алгебраические дополнения элементов a_ij матрицы А.

Лекция 2.