Біномний розподіл
Нехай проводиться п випробувань з можливими виходами А або в кожному випробуванні, причому подія А має сталу ймовірність р появи в одній спробі (схема Бернуллі). Позначимо . Тоді ймовірність появи події А k раз в п спробах дорівнює:
. (ІІ.13)
Розподіл випадкової величини Х, яка дорівнює кількості появи події А в п випробуваннях називається біномним розподілом. Випадкову величину Х можна розглядати як суму , де — випадкова величина з розподілом Бернулі, яка характеризує появу події А в і–ому випробуванні. Тому математичне сподівання, дисперсія та середнє квадратичне відхилення розподіленої за біномним розподілом випадкової величини дорівнюють:
(ІІ.14)
Приклад 10. Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,52. Записати розподіл кількості хлопчиків серед 10 новонароджених та знайти його числові характеристики .
Розв’язання: Значення ймовірностей для кожного значення випадкової величини, знаходимо за формулою (ІІ.13). Ввівши команду Maple:
p:=0.52;q:=1-p;seq(binomial(10,i)*p^i*q^(10-i),i=0..10);,
отримаємо шуканий розподіл:
х | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
р | 0,0007 | 0,0070 | 0,0343 | 0,0991 | 0,1878 | 0,2441 | 0,2204 | 0,1364 | 0,0554 | 0,0133 | 0,0015 |
Г рафічно його можна зобразити таким чином:
Рис. 6.
На основі формул (2.14) отримуємо МХ=5,2, DX=2,496, σX 1,58.
Функцію розподілу даної випадкової величини можна задати у вигляді таблиці:
х | x0 | 0<x1 | 1<x2 | 2<x3 | 3<x4 | 4<x5 | 5<x6 | 6<x7 | 7<x8 | 8<x9 | 9<x10 | x>10 |
F(x) | 0 | 0,0007 | 0,0077 | 0,042 | 0,1411 | 0,3289 | 0,573 | 0,7934 | 0,9298 | 0,9852 | 0,9985 | 1 |
Отже, медіаною розподілу цієї випадкової величини є точка т = ½= 5, а квартилями — точки ¼= 4 та ¾= 6.
Розподіл Пуассона
Випадкова величина Х має розподіл Пуассона з параметром , якщо
. (ІІ.15)
Математичне сподівання, дисперсія та середньоквадратичне відхилення випадкової величини з розподілом Пуассона дорівнюють:
(ІІ.16)
Розподіл Пуассона відповідає схемі Бернуллі з великим п і достатньо малим р, причому , тому цей закон розподілу називають розподілом імовірностей масових рідкісних подій.
Деякі неперервні розподіли
Рівномірний розподіл
Випадкова величина називається рівномірно розподіленою на відрізку [a; b], якщо щільність її розподілу
(ІІ.17)
Функція розподілу такої випадкової величини описується рівністю
(ІІ.18)
Її математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення відповідно дорівнюють
(ІІ.19)
Експонентний розподіл
Випадкова величина має експонентний розподіл, якщо її щільність розподілу
(ІІ.20)
ЇЇ функція розподілу задається рівністю
(ІІ.21)
Математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення випадкової величини розподіленої за експонентним законом дорівнюють:
(ІІ.22)
Вправа. Побудуйте графіки щільностей та функцій рівномірного і експонентного розподілів в пакеті Maple.
Нормальний розподіл
Важливу роль у теорії ймовірностей відіграє нормальний закон розподілу. Назва “нормальний” пояснюється тим, що через поширеність цього закону при описі більшості природніх явищ, він сприймався як норма (стандарт) розподілу будь-якої випадкової величини. Цьому закону підпорядковані більшість числових характеристик властивостей особистості і людських здібностей.
Випадкова величина має номальний розподіл (або розподіл Гауса), якщо щільність її розподілу задається рівністю
. (ІІ.23)
Функція нормального розподілу має вигляд
. (ІІ.24)
Числові характеристики нормально розподіленої випадкової величини дорівнюють
(ІІ.25)
З алежно від параметра графіки щільності розподілу та функції розподілу мають такий вигляд
Нормальний розподіл з параметрами та називають стандартним нормальним розподілом. Для стандартного нормального розподілу складені таблиці його щільності та функції Лапласа (Див. таблиці 1 і 2 в додатку 1).
В пакеті Excel для обчислення щільності та функції нормального розподілу служать статистичні функції НОРМРАСП і НОРМСТРАСП. Квантилі нормального розподілу можна обчислити, користуючись функціями НОРМОБР та НОРМСТОБР.
Імовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини в заданий інтервал визначається за формулою
(ІІ.26)
При використанні формули (ІІ.26) слід пам’ятати, що функція Лапласа Ф(х) є непарною функцією, тобто Ф(– х) = – Ф(х).
Імовірність відхилення нормально розподіленої випадкової величини від свого математичного сподівання не більше, ніж на ε, обчислюється за формулою
(ІІ.27)
Зокрема, послідовно вибираючи , , , отримуємо:
(ІІ.28)
Останнє співідношення виражає правило “трьох сігм”, яке полягає в тому, що практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини відхиляються від свого математичного сподівання не більше, ніж на .
Приклад 11. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з математичним сподіванням а = 10. Знайти ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (20; 30), якщо ймовірність її попадання в інтервал (0; 10) дорівнює 0,3.
Розв’язання: Оскільки ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини у заданий інтервал визначається за формулою (ІІ.26), то . З таблиці значень функції Лапласа визначаємо , звідки . Далі .
- Основи теорії ймовірностей і статистичні методи обробки даних у психологічних і педагогічних експериментах.– Львів: Видавничий центр лну імені Івана Франка, 2006. – 168 с.
- І. Основи теорії ймовірностей
- Формула повної ймовірності
- Формули Байєса
- Задачі до розділу і.
- Іі. Випадкова величина Поняття випадкової величини
- Функція розподілу випадкової величини
- Щільність розподілу неперервно розподіленої випадкової величини
- Характеристики розподілу випадкової величини
- Математичне сподівання випадкової величини
- Дисперсія та стандартне відхилення випадкової величини. Асиметрія і ексцес.
- Квантилі
- Деякі дискретні розподіли Розподіл Бернуллі
- Біномний розподіл
- Апроксимаційні формули Муавра-Лапласа Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо у схемі Бернулі величина , коли , то
- Функція розподілу двовимірної випадкової величини
- Умовні закони розподілу
- Коваріація і коефіцієнт кореляції
- Коваріаційна матриця і матриця парних кореляцій
- Граничні закони теорії ймовірностей Нерівність Чебишева
- Теорема Чебишева
- Закон Бернуллі
- Теорема Ляпунова
- Задачі до розділу іі.
- Ііі. Елементи математичної статистики
- Генеральна сукупність і вибірка
- Дискретний варіаційний ряд
- Інтервальний варіаційний ряд
- Точкові та інтервальні оцінки
- Поняття про статистичну перевірку гіпотез
- Задачі до розділу ііі.
- Іv. Методи математичної обробки даних у психології Ознаки і змінні. Шкали вимірювання ознак
- Перевірка гіпотези про однорідність вибірки
- Перевірка гіпотези про узгодженість розподілів
- Критерій Пірсона
- Критерій Колмогорова
- Критерій Смирнова
- Перевірка гіпотези про рівність двох дисперсій
- Виявлення відмінностей у рівні досліджуваної ознаки Критерій Розенбаума
- Критерій Манна-Уітні
- К ритерій Стьюдента
- І. Вибірки взяті з однієї генеральної сукупності
- Іі. Вибірки взяті з різних генеральних сукупностей
- Перевірка наявності зсуву у значеннях досліджуваної ознаки
- Критерій знаків
- Критерій Вілкоксона
- Парний t-тест Стьюдента
- Перевірка впливу фактора на зміну рівня досліджуваної ознаки
- Критерій Краскела-Уоллеса
- Критерій тенденцій Джонкхієра
- Критерій Фрідмана
- К ритерій тенденцій Пейджа
- Однофакторний дисперсійний аналіз
- П еревірка наявності зв’язку між двома ознаками
- Зв'язок ознак, виміряних у номінативних шкалах
- Зв'язок ознак, виміряних у порядкових шкалах
- Зв'язок ознак, виміряних в інтервальних шкалах
- Задачі до розділу іv.
- Критичні значення розподілу
- Критичні значення розподілу Фішера-Снедекора
- Критичні значення критерію Розенбаума
- Критичні значення критерію Манна-Уітні
- Критичні значення критерію знаків
- Критичні значення критерію Вілкоксона
- Критичні значення критерію Краскела-Уоллеса
- Критичні значення критерію Джонкхієра
- Критичні значення критерію Фрідмана
- Критичні значення критерію Пейджа
- Критичні значення рангового коефіцієнта кореляції Спірмена
- Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.
- Визначник матриці. Обернена матриця
- Системи лінійних алгебричних рівнянь
- Вступ до математичного аналізу
- Числові послідовності та їх границі
- Границя функції в точці. Односторонні границі
- Неперервність функції
- Диференціальне числення функцій однієї змінної Похідна функції в точці
- Диференційовність функції
- Монотонність функції. Екстремуми
- Похідні вищих порядків
- Інтегральне числення функцій однієї змінної Первісна функції. Невизначений інтеграл
- В изначений інтеграл
- Невластиві інтеграли
- Частинні похідні функцій багатьох змінних
- Д о д а т о к 3: Деякі команди Maple 8.
- Алфавітний покажчик
- Основи теорії ймовірностей і статистичні методи аналізу даних у психологічних і педагогічних експериментах