Функція розподілу двовимірної випадкової величини

Розподіл двовимірного дискретного випадкового вектора можна задати у вигляді таблиці:

Тут значення відповідно випадкових величин Х і Y, а . Зрозуміло, що .

Функція називається функцією розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини. Наприклад, якщо випадковий вектор заданий розподілом

то функція розподілу випадкового вектора матиме вигляд

Функція розподілу ймовірностей двовимірного випадкового вектора має такі властивості.

1. Значення функції розподілу змінюються в межах .

2. Функція розподілу монотонно неспадна за кожним аргументом, тобто:

,

.

3. Імовірність попадання значень випадкової величини в прямокутник обчислюється за формулою

.

4. Справджуються рівності:

.

5. Границею функції розподілу ймовірностей, коли одна із змінних прямує до , є функція розподілу другої змінної:

6. За кожним своїм аргументом функція розподілу F є неперервною зліва в будь-якій точці своєї області визначення, тобто

Якщо випадковий вектор є неперервним, то функція неперервна на всій області визначення.

Функцію

,

(якщо вона існує) називають щільністю розподілу ймовірностей двовимірної випадкової величини.

Наприклад, функція є щільністю розподілу неперервної двовимірної випадкової величини, заданої функцією розподілу

Щільність розподілу неперервної випадкової величини має такі властивості:

1. Щільність розподілу завжди невід’ємна .

2. Функція розподілу неперервної випадкової величини визна­ча­єть­ся через щільність її розподілу за формулою

3. Має місце умова нормування .

4. Імовірність попадання значень неперервної випадкової величини в задану область D обчислюється за формулою

.

5. Функції

і

задають щільності розподілів одновимірних неперервних випадкових величин X і Y відповідно.