Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.

Матрицею розмірності m  n називають прямокутну таблицю чисел, яка складається з m рядків і п стовпчиків. Числа, які утворюють матрицю називають елементами матриці. Матриці позначають великими літерами латинського алфавіту, а їх елементи відповідними малими літерами з індексами. Наприклад,

.

Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакову розмірність і їх відповідні елементи рівні. .

Матриця, яка складається з одного рядка (одного стовпчика) називається вектор-рядком (вектор-стовпчиком). Як правило замість або відповідно пишуть та .

Квадратною матрицею п-го порядку називається матриця, яка складається з п рядків і п стовпчиків. Наприклад, — квадратна матриця 2-го порядку. Квадратна матриця, всі елементи якої дорівнюють нулеві, називається

нуль-матрицею.

Елементи квадратної матриці п-го порядку називаються діагональними і утворюють головну діагональ матриці. Матриця, всі елементи якої окрім діагональних дорівнюють нулеві, називається діагональною. Діагональну матрицю, у якої всі діагональні елементи дорівнюють одиниці, називають одиничною і позначають буквою Е.

Добутком матриці на число  називатимемо матрицю , кожен елемент якої дорівнює відповідному елементу матриці А, помноженому на скаляр . Наприклад, якщо , то . Матрицю –А=–1А називають протилежною до матриці А.

Сумою матриць і однакової розмірності називають матрицю , кожен елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В. Наприклад, якщо , а , то .

Добутком матриці розмірності т  п на матрицю розмірності п  р називають матрицю розмірності т  р, кожен елемент якої є сумою добутків елементів відповідного рядка матриці А на відповідний стовпчик матриці В. Наприклад, якщо , а , то .

Зауважимо, що добуток матриць є некомутативною операцією. Так в останньому прикладі добуток FD не існує, оскільки кількість стовпчиків матриці F не дорівнює кількості рядків матриці D. Але навіть якщо обидва добутки

існують, вони, як правило, не рівні між собою. Наприклад, , але .

Справджуються такі властивості:

Матриця називається транспонованою до матриці . Очевидно, що коли розмірність матриці А дорівнює тп, то розмірність транспонованої матриці — пт. Наприклад, якщо , то .

Справджуються такі властивості операції транспонування: