logo
Міністерство освіти та науки Україн1

Критерій Фрідмана

Критерій Фрідмана дозволяє перевірити гіпотезу про відсутність відмінності в ріні досліджуваної ознаки для трьох і більше зв’язаних вибірок (тестування однієї групи в різних умовах змушуючого фактора). Альтернативною виступає гіпотеза про наявність такої відмінності.

Статистика Фрідмана обчислюється за формулою

,

де п — кількість об’єктів у групі, k — кількість замірів, що відповідають різним значенням змушуючого фактора, — сума рангів для -го заміру, отриманих ранжуванням замірів окремо для кожного досліджуваного об’єкта.

Критерій має правосторонню критичну область. Для невеликих вибірок і невеликого k=3 та k=4 критичні значення статистики Фрідмана наведено в таблиці 12 додатка. Для великих вибірок статистика має розподіл, близький до з ступенем вільності.

Заміри i та j можна вважати попарно різними на спільному рівні значущості , якщо

,

де і — квантиль нормального розподілу рівня .

У пакеті Statistica 6.0 критерій Фрідмана реалізовано у субмодулі Comparing multiple dep. samples (variables) модуля Nonparametrics.

Приклад 35. З групою з семи учнів протягом двох місяців проводився тренінг, спрямований на зниження їх агресивності. Заміри індексів ворожості (Iv) та агресивності (Ia) за методикою Басса-Даркі у цій групі проведені перед початком тренінгу, після його завершення та через півроку після тренінгу подано в таблиці. Чи можна стверджувати, що тренінг виявився ефективним?

Учень

Iv

Ia

20.02

8.05

30.10

20.02

8.05

30.10

Б-н Наталка

11

6

5

20

11

19

Г-к Тарас

12

5

11

24

12

14

Д-ц Микола

13

7

5

21

18

20

Л-о Марта

10

4

15

12

7

13

С-а Оксана

6

4

6

9

8

6

С-л Юлія

9

6

5

12

7

8

Ш-о Юлія

10

4

7

14

9

11

Розв’язання: Сформулюємо статистичні гіпотези.

Н0: Рівні індексу з часом статистично не змінилися.

Н1: Відмінності різних замірів рівнів індексів істотні.

Перевірку гіпотез для індексу ворожості проведемо вручну. Подальші дослідження здійснимо з використанням пакету Statistica 6.0.

Для знаходження статистики Фрідмана проранжуємо окремо для кожного учня показники індексу ворожості.

Учень

Iv

20.02

8.05

30.10

Б-н Наталка

11

3

6

2

5

1

Г-к Тарас

12

3

5

1

11

2

Д-ц Микола

13

3

7

2

5

1

Л-о Марта

10

2

4

1

15

3

С-а Оксана

6

2,5

4

1

6

2,5

С-л Юлія

9

3

6

2

5

1

Ш-о Юлія

10

3

4

1

7

2

Суми рангів

19,5

10

12,5

Емпіричне значення статистики Фрідмана

.

Критичні значення статистики Фрідмана для дорівнюють , . Оскільки , то на цьому рівні значущості нульову гіпотезу можемо відхилити.

Відмінність між замірами можна вважати істотною на рівні значущості , якщо модуль різниці рангових сум перевищує число

.

У нашому випадку , тобто після тренінгу відбувся достовірний зсув рівня індексу ворожості, який з часом не змінився.

Результати перевірки відмінностей індексу агресивності в пакеті Statistica 6.0 наведені на рис. 27. Як бачимо рівень значущості емпіричного значення статистики дорівнює 0,0058 і є істотно меншим, ніж навіть 0,01. Отже, рівні замірів індексу агресивності істотно відрізняються. Далі . Тобто істотними є відмінності між рівнями індексу агресивності до і відразу після тренінгу. Однак з часом ці відмінності нівелюються. Як бачимо, в цілому тренінг можна вважати ефективним.