Граничні закони теорії ймовірностей Нерівність Чебишева

Якщо випадкова величина має математичне сподівання М і середнє квадратичне відхилення σ, тоді для довільного має місце нерівність

(ІІ.31)

Нерівність (ІІ.31) називають нерівністю Чебишева. Вона дозволяє оцінити імовірність великого відхилення значення випадкової величини від свого математичного сподівання. Разом з нею розглядають нерівність

, (ІІ.32)

яка дозволяє оцінити ймовірність протилежної події.

Доведемо нерівність (ІІ.31). Дійсно, для дискретно розподіленої випадкової величини маємо

. Звідки .

Для неперервно розподіленої випадкової величини маємо

. Звідки , що і треба було довести.

Зауважимо, що нерівність Чебишева не передбачає інформації про характер розподілу випадкової величини. Якщо ж відомий розподіл випадкової величини, то можна не тільки оцінити, але й визначити імовірність відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання більше, ніж на задану величину.