Геометрическая интерпретация минимакса

Покажем, что точка , определяющая минимаксную стратегию второго игрока, является граничной точкой области , причем такой, в которой область T касается области .

, причем . С другой стороны , если , это множество m-мерных векторов, каждая из координат которых не превышает верхней цены игры.

Рассмотрим точку , которая связана с точкой следующим образом:

, , , .

Очевидно, что , поэтому , . Значит, . Но .

Из этого следует два вывода:

1. точка — граничная точка области ;

2. — точка, в которой область T касается области .

Эти свойства позволяют легко находить геометрически минимаксную стратегию для случая, когда первый игрок имеет две чистые стратегии, т.е. когда эквивалентная S-игра изображается множеством точек плоскости. Для построения области T, касательной к области , удобно провести вспомогательную прямую из начала координат под углом к оси абсцисс, на которой лежит вершина прямоугольного клина, образующего область T.

На рисунке приведены различные случаи взаимного расположения областей и T и отмечены точки, определяющие минимаксную стратегию второго игрока , и множества минимаксных стратегий второго игрока.