Линейное программирование для решения матричных игр

Пусть имеется некоторая матричная игра Г=<X,Y,H> (где X и Y — множества стратегий 1го и 2го игроков соответственно, а Н — платежная матрица), H=(a_ij) R^m*n

Требуется найти оптимальную смешанную стратегию, т.е.

p^*=(p₁^*,p₂^*,…,p_m^*) и q*=(q₁^*,q₂^*,…,q_n^*), при которых

,

где v — цена игры.

Для решения этой задачи можно применять линейное программирование.

Будем считать, что все a_ij 0, игра Г’ эквивалентна игре Г, H’=H+L, L — число, при котором неравенство будет выполняться (при переходе от игры Г к игре Г’).

Далее предположим, что 2й игрок принимает стратегию y_k , , тогда выигрыш игрока 1 будет определяться условием

p₁a_1k + p₂a_2k + … + p_ma_mk v, (*)

(равенство v достигается, если k-я стратегия является рабочей)

p_i 0 , ; p_i a_ik > 0 v>0 (т.к. левая часть неравенства (*) больше нуля).

Разделим неравенство (*) на v :

t₁a_1k + t₂a_2k +…+ t_ma_mk 1, где t_i= , t_i 0,

Цель стратегии 1-го игрока — максимизировать выигрыш:

v max min

Исходя из рассмотренных условий, задачу линейного программирования можно сформулировать так:

1) t_i 0 ,

2) min

3) , причем z_k=0 для рабочих стратегий , z_k>0 для нерабочих стратегий.

Решение этой задачи позволяет:

1. Вычислить t_i^*.

2. Определить те k, при которых z_k=0 (т.е. найти рабочие стратегии 2го игрока)

4. p_i^*=t_i^* v

Для определения стратегии 2го игрока можно поступить двояко:

1. сформулировать двойственную задачу

2. использовать информацию о полезных стратегиях 2-го игрока (полезные стратегии – при z_k=0 )

Пусть найдена полезная стратегия игрока y_j, , . Для определения оптимальной стратегии q_j^*, для рабочих стратегий 1-го игрока можно записать условие

q₁a_i1 + q₂a_i2 + … + q_ka_ik v,

(причем если i-я стратегия 1-го игрока рабочая, то =v,а если нет, то< v)

q₁a_i1 + q₂a_i2 + … + q_ka_ik v ,

- система уравнений для определения оптимального q.

ПРИМЕР.

Пусть имеется некоторая игра с матрицей A=

A+5 A₁=

Предположим, что все стратегии рабочие. Составляем систему уравнений:

7t₁ + 2t₂ + 9t₃ - z₁ = 1

2t₁ + 9t₂ - z₂ = 1

9t₁+11t₃ - z₃ = 1

Решение этих уравнений при условии t₁ + t₂ + t₃ min :

t₁ = 0,05

t₂ = 0,1

t₃ = 0,05

v(A₁) = = 5 p₁=0,05*5=0,25

p₂=0,1*5=0,5

p₃=0,05*5=0,25

v(A)=v(A₁) - 5=0 игра справедливая. Найдём стратегию второго игрока:

q₁^* + q₂^* + q₃^* = 1

2q₁ + 9q₂ = 5 q₁=q₃=0,25

9q₁ + 11q₃ =5 q₂=0,5