Пространство выборок

Y = {y , y , …, y } — множество исходов эксперимента, y — i-ый исход эксперимента. Каждый из y связан с соответствующим элементом состояния природы.

Z = {z , z ,…, z } — множество состояний природы. В общем случае статистическая связь:

P(y/z) — условная вероятность исхода y при данном состоянии природы z.

P(y/z) 0; , .

Совокупность из трёх элементов пространства Z, Y с заданными на Y условными вероятностями называют пространством выборок.

V = {Z, Y, P(y/z)}.

В конечномерном случае, когда n и дискретно и конечно, то пространство выборок удобно рассматривать в виде таблицы, в которой строками являются состояния природы, столбцами — исходы эксперимента, а элементами — условные вероятности p , которые определяют вероятности исхода y при состоянии природы z .

Пример: «задача о тест-контроле»

Состояния природы: z < ПДК

z > ПДК

Три исхода: y – вредных примесей не обнаружено;

у – вредных примесей обнаружено меньше ПДК;

у – вредных примесей обнаружено больше ПДК.

z/y	P(y/z)
	y1	y2	y3
z1	0,25	0,6	0,15
z2	0,05	0,15	0,8

Очевидно, что при каждом исходе эксперимента, можно принимать какую-либо из гипотез (стратегий)

y X = {x , x ,…, x }

d(y) — решающая функция.

В играх без экспериментальных статистик решения принимают, исходя из априорных вероятностей состояния природы; статистик принимает решение, исходя из исхода эксперимента.

Чтобы формализовать задачу выбора своих решений, статистик должен заранее проанализировать все возможные исходы эксперимента и установить правило dпозволяющее принимать решение x при каждом y Y; d: называют решающей функцией.

Пусть в задаче имеется возможность обрабатывать продукцию по технологиям x , x , x . Этот выбор должен осуществиться при исходах y , y , y .

Решающая функция d(y ) = x . Эту функцию можно описать в виде пар (i, j).

Варианты построения решений:

1. (1, 1), (2, 1), (3, 2);

2. (1, 1), (2, 2), (3, 2) и т. д.

Для анализа нужно рассматривать пространство D, образованное всеми возможными решающими функциями. Каждая решающая функция разбивает множество Y исходов эксперимента на непересекающиеся подмножества S = {y: d(y) = x} Y. Это непересекающееся множество можно определить для каждого x X. Для нашего эксперимента для первого случая S = {y , y };

S = {y }; S = { }. Аналогично можно сделать для каждой решающей функции.

X = {x , x } — двухальтернативная задача. Решающая функция d(y) принимает два значения:

d(y) = ; y = S ; S =

y в этом случае — критическая область.

Понятие «решающая функция» позволяет принимать (выбирать) такую из них, которая даёт наиболее выгодное решение. Возникает вопрос: как определить качество решающей функции? Качество решающей функции удобно оценивать с помощью функции риска.