Смешанное расширение бескоалиционной игры

Рассмотрим бескоалиционную игру двух лиц Г=<X₁,X₂,H₁,H₂>. В простейшем случае X₁={x₁⁽¹⁾,x₂⁽¹⁾}; X₂={x₁⁽²⁾,x₂⁽²⁾}. Тогда

для 1-ого игрока x₁⁽¹⁾ p (p — вероятность выбора стратегии x₁⁽¹⁾), x₂⁽¹⁾ 1-p

для 2-ого игрока x₁⁽²⁾ q (q — вероятность выбора стратегии x₁⁽²⁾), x₂⁽²⁾ 1-q

В общем случае, если число стратегий m и n, получим

x_i⁽¹⁾ p_i , ,

x_j⁽²⁾ q_j , ,

Важнейшим принципом смешанного решения бескоалиционной игры является то, что игроки выбирают свои стратегии независимо. Тогда для каждой ситуации x⁽ⁱ⁾= вероятность ее появления будет равна P(x⁽ⁱ⁾)=p_i*q_j

Аналогично это понятие можно обобщить на случай N игроков. В этом случае множество всех ситуаций Х будет определяться так:

I={1,…,N} X=X₁*X₂*…*X_N

Каждая ситуация х Х будет иметь вероятность P(x)=p(x⁽¹⁾)* p(x⁽²⁾)*… p(x^(N)), где х — ситуация выбора игроками стратегии х=( x⁽¹⁾, x⁽²⁾,…, x^(N)), причем

Для биматричных игр доказывается, что существует ситуация (p*,q*), которая является ситуацией равновесия по Нэшу.

ДОК-ВО (Петросян с.130)

Рассмотрим свойства равновесия по Нэшу на примере анализа биматричной игры 2*2.

X₁={ x₁⁽¹⁾, x₂⁽¹⁾} A/B=

X₂={ x₁⁽²⁾, x₂⁽²⁾}

Вероятности выбора стратегий: x₁⁽¹⁾ p x₁⁽²⁾ q

x₂⁽¹⁾ 1-p x₂⁽²⁾ 1-q

Найдем выигрыш Н₁ в ситуации (p,q)

H₁(p,q)=

H₂(p,q)=

Найдем p и q, которые обеспечат ситуацию равновесия по Нэшу:

H₁(p,q)= = =

= =

H₂(p,q)= =

Ситуация для 1-ого игрока, когда р (0,1) будет предпочтительней, если будут выполняться 2 неравенства:

H₁(1,q) H₁(p,q)

H₁(0,q) H₁(p,q)

Обозначим

Тогда из первого неравенства получаем:

из второго неравенства:

если выполняются эти два неравенства, то ситуация предпочтительна для 1-ого игрока

Аналогично получаем условия предпочтительности ситуации (p,q) при 0<q<1 для 2-го игрока:

H₂(p,1) H₂(p,q)

H₂(p,0) H₂(p,q)

Первое неравенство:

Второе неравенство:

Таким образом, эти 4 неравенства определяют предпочтительность ситуации (p,q). Доказано, что эти неравенства совместны тогда и только тогда, когда они обращаются в равенства. В этом случае имеем следующее решение:

p*= ; q*=

или p*= ; q*=

Получается, что стратегии игроков зависят от стратегий противников.

Рассмотрим матричную игру с матрицей A= , тогда

a₁₁q + a₁₂(1-q) = a₂₁q + a₂₂(1-q), откуда q*=

ПРИМЕР. A= B=

p*= = = — вероятность выбора 1-ым игроком стратегии х₁

q*= = = — вероятность выбора 2-ым игроком своей стратегии у₁

Вывод: нет решения, удовлетворяющего обоих игроков. В этом случае необходимо договариваться.