Разделительная и опорная гиперплоскость двух выпуклых множеств

Пусть S и T – два выпуклых непересекающихся множества. Теория выпуклых множеств доказывает существование гиперплоскости , называемой разделительной, такой что, множества S и T лежат в разных полупространствах. Среди разделительных можно найти такую гиперплоскость , называемую опорной, и имеющей с S по крайней мере одну общую точку.

Для описания некоторых видов выпуклых множеств используется понятие крайней точки. Любая крайняя точка не может располагаться внутри отрезка, соединяющего любые две точки этого множества, а может располагаться на границе этого отрезка (или быть концевой):

: , ,

Очевидно, что любая крайняя точка является и граничной точкой выпуклого множества, но не все граничные точки являются крайними.

Выпуклым многогранником называется выпуклое множество с конечным числом крайних точек.

Теорема 1. Каждая опорная гиперплоскость выпуклого множества S содержит его крайнюю точку.

Теорема 2. Выпуклое множество S является средневзвешенным множеством из его крайних точек.

Сопоставляя эти утверждения, приходим к выводу, что выпуклая оболочка конечного множества A является выпуклым многогранником, вершинами которой являются крайние точки множества A.