Бескоалиционные игры

В таких играх каждый игрок действует самостоятельно.

Игра Г=<N, {x_i}, i N, {H_i}, i N> , где N — множество игроков, x_i-множество стратегий i-го игрока, H_i — множество функций выигрыша каждого игрока для каждой ситуации.

Каждый игрок выбирает некоторую стратегию из множества x_i :

i x⁽ⁱ⁾ x_i , получаем ситуацию (x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…,x^(N)). В результате каждый из игроков получает выигрыш H_i(x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…,x^(N)), i N.

Это описание бескоалиционной игры в нормальной форме. Игроки выбирают свои стратегии x_i независимо друг от друга. Если для каждого игрока множество стратегий x_i конечно, то получаем конечную бескоалиционную игру. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное число стратегий, то это бесконечная бескоалиционная игра.

Простейшей бескоалиционной игрой является игра двух лиц. Они могут не только выигрывать или проигрывать, но и делать это совместно (одновременно выигрывать или проигрывать).

Опишем такую игру (бескоалиционную) в нормальной форме:

Г=<x₁,x₂,H₁,H₂>, где {x₁,x₂}-множество стратегий, H₁,H₂— функции выигрыша.

(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) H₁(x⁽¹⁾,x⁽²⁾), H₂(x⁽¹⁾,x⁽²⁾)

Ясно, что если игра конечна, то матрицу Н можно рассмотреть как

H₁=(a_ij) m*n A

H₂=(b_ij) m*n B

Такую игру называют биматричной: Г=<A,B>; a_ij= -b_ij , , , следовательно, игра антагонистическая.