Функция риска при оптимальном последовательном правиле

Функция риска определяет на каждой стадии эксперимента минимальные средние потери, которые понесет статистик, принимая решение и решение о продолжении эксперимента. Значение функции риска при проведении j испытаний обозначим , j — число проведенных испытаний, N-j — число оставшихся испытаний.

Предположим вначале, что проведены все N испытаний и определено . Очевидно, что средние потери, которые понесет статистик, принимая решение . в данном случае будут определяться:

.

Очевидно, что минимальное значение этих потерь будет определять средняя функция риска:

.

— байесовское решение.

Поскольку ничего лучшего на этой стадии эксперимента уже придумать нельзя, то эти минимальные байесовские стратегии можно взять как функцию риска: .

Рассмотрим некоторую произвольную стадию эксперимента: j. На этой стадии статистик располагает апостериорным распределением и может поступать следующим образом:

1). Прекратить эксперимент и принять решение . При этом он понесет потери .

2). Принять решение проводить j+1 испытание. При этом он понесет потери, которые будут состоять из стоимости нового испытания и из потерь, которые понесет статистик, используя результаты j+1 наблюдения. Другими словами: .

Статистику известны исходы эксперимента . Поэтому необходимо прогнозировать .

Например, используем формулу Байеса:

Эти распределения зависят от исхода и определять следует по всем исходам .

При решении вопроса о продолжении эксперимента статистик должен учитывать потери, которые он понесет, которые будут определяться:

.

Функция риска после проведения j-ого испытания:

;

Если не использовать индексы j, то:

; .

Обозначим через Y — пространство исходов экспериментов. .

Тогда: — средние потери.

Тогда математическое ожидание риска:

.