Основная теорема антагонистических игр.

S-игра

Играм, в которых у первого игрока конечное число стратегий, можно дать полезную геометрическую интерпретацию.

Пусть задана игра с матрицей платежей

.

Можно рассмотреть множество векторов:

….. ,

координаты которых являются столбцами матрицы H.

Игра, заданная множеством точек в m- мерном пространстие, получила название S- игры.

Правила S-игры следующие: второй игрок выбирает одну из точек , а первый игрок выбирает i-ую координату этой точки . При этом выигрыш первого игрока, соответственно проигрыш второго, будет равен значению i-ой координаты точки , т.е. : .

.

Нетрудно видеть, что S-игра эквивалентна обычной игре в нормальной форме , т.к. выбор точки из множества эквивалентен выбору стратегии , а выбор координаты этой точки эквивалентен выбору стратегии .

Если число стратегий первого игрока равно двум, то S-игра имеет наглядную геометрическую интерпретацию, Точки множества будут в этом случае точками плоскости (платежная матрица будет иметь вид:

, в которой столбцы задают точки с координатами ).

Пример:

Рассмотрим игру . Эквивалентная S - игра содержит 5 точек: , , , , . Геометрическое изображение этой игры приведено на рисунке.

Обозначим через выпуклую оболочку конечного множества точек . S-игра эквивалентна обычной игре в чистых стратегиях. Доказывается, что эта эквивалентность сохраняется и для смешанных стратегий.

Теорема. Любая смешанная стратегия второго игрока может быть представлена точкой, принадлежащей выпуклой оболочке , и наоборот, любая точка может рассматриваться как некоторая смешанная стратегия второго игрока.

Доказательство. Рассмотрим смешанные стратеги игроков и . При использовании этих смешанных стратегий проигрыш второго игрока

, где .

Обозначим через S точку в m-мерном пространстве с координатами :

;

………………………….

.

Учитывая, что , это выражение можно записать в виде векторного соотношения

.

Видим, что S есть не что иное, как средневзвешенное точек с весами , и, следовательно, S есть некоторая точка, принадлежащая выпуклой оболочке . Таким образом, каждой стратегии второго игрока будет соответствовать некоторая точка, принадлежащая выпуклой оболочке , и задание этой точки равносильно заданию смешанной стратегии второго игрока.

Справедливо и обратное. Так как любая точка S, принадлежащая выпуклой оболочке , может быть представлена как средневзвешенное точек , определяющих выпуклую оболочку , то для каждой точки найдутся такие веса , задание которых определит смешанную стратегию второго игрока. Теорема доказана.

Следствие. Поскольку смешанная стратегия первого игрока остается в S-игре той же самой, что и в обычной игре, из доказанной теоремы следует, что S – игра полностью эквивалентна обычной игре, т.е. любая игра может быть представлена в виде эквивалентной S-игры.