Зв'язок ознак, виміряних у номінативних шкалах
Нехай одна з ознак має градацій номінативної шкали, які позначимо відповідно, а ознака має градацій номінативної шкали, які позначимо . Таблицю
|
|
| … |
| … |
|
|
|
| … |
| … |
|
|
|
| … |
| … |
|
… | … | … | … | … | … | … , |
|
|
| … |
| … |
|
… | … | … | … | … | … | … |
|
|
| … |
| … |
|
де — частота появи пари в серії спостережень, називають таблицею спряженості.
Якщо досліджувані ознаки незалежні, то незалежними мають бути і події та , тобто
.
Введемо позначення
.
Оскільки при достатньо великих п за законом Бернуллі , , а , то незалежність ознак і , забезпечуватиме виконання рівностей
Величини називатимемо сподіваними (або теоретичними) частотами розподілу випадкового вектора .
Перевірку узгодженості емпіричного розподілу з теоретичним здійснимо на основі критерію . Якщо виконується нульова гіпотеза (ознаки і — незалежні), то величина
матиме розподіл з ступенями вільності. Великі значення у конкретному експерименті свідчитимуть про залежність між ознаками і .
Для оцінки тісноти зв’язку між ознаками Карл Пірсон запропонував величину
,
яку називають коефіцієнтом спряженості Пірсона. Очевидно, що , причому для незалежних ознак . Однак , коли таблиця спряженості діагональна (абсолютна залежність ознак і ). Позбавлений цього недоліку запропонований Крамером коефіцієнт
.
Приклад 381. Розподіл 1725 школярів, класифікованих за їх розумовими здібностями (А — розумово відсталий або повільний і тупий; Б — тупий; В — повільний але розумний; Г — достатньо розумний; Д — явно здібний; Е — дуже здібний) та якістю одягу (одягнений: а — дуже добре; б — добре; в — задовільно; г — погано), наведено в таблиці. Чи існує зв'язок між цими характеристиками?
Здібності Як одягається | А | Б | В | Г | Д | Е |
а | 33 | 48 | 113 | 209 | 194 | 39 |
б | 41 | 100 | 202 | 255 | 138 | 15 |
в | 39 | 58 | 70 | 61 | 33 | 4 |
г | 17 | 13 | 22 | 10 | 10 | 1 |
Розв’язання: Сформулюємо статистичні гіпотези.
Н0: Ознаки незалежні одна з одною.
Н1: Ознаки пов’язані між собою.
О бчислення статистики проведемо в пакеті Excel. Для цього занесемо дані з умови задачі у блок кліток A1:G5. У блоці B6:G6 обчислимо суми частот по стовпчиках, а у блоці H2:H6 — по рядках. Отримані суми будуть частотами , та відповідно. Щоб обчислити величини , у клітку В7 занесемо формулу =B2^2/B$6/$H2 та скопіюємо її на блок B2:G10. Значення статистики знайдемо у клітинці Н11 записавши в ній формулу =(SUM(B7:G10)-1)*H6 . У клітинці Н12 знайдемо рівень її значущості, записавши формулу =CHIDIST(H11;15). У клітинці D12 за формулою =SQRT(H11/(H6+H11)) знайдемо коефіцієнт Р, а в клітинці F12 — коефіцієнт С за формулою =SQRT(H11/H6/3). На рис.30 наведено вигляд аркуша MS Excel.
Як бачимо, емпіричне значення статистики і має рівень значущості . Це дає підстави відхилити нульову гіпотезу і стверджувати, що досліджувані ознаки залежні. Обчислені коефіцієнти Р і С теж будуть статистично відмінними від нуля. Їх величина вказує на не дуже тісний зв'язок між досліджуваними ознаками, однак дати імовірнісну інтерпретацію цих коефіцієнтів важко.
Якщо вхідні дані задані у вигляді таблиці спостережень, то побудувати таблицю спряження та обчислити емпіричні значення статистик і їх рівні значущості у пакеті Statistica 6.0 можна за допомогою субмодуля Tables and banners модуля Basic Statistics/Tables. Вибрати види таблиць спряження (абсолютні чи відносні частоти) та необхідні статистики можна на закладці Option. Для виводу всіх вибраних даних слід натиснути кнопку Detailed two-way tables.
- Основи теорії ймовірностей і статистичні методи обробки даних у психологічних і педагогічних експериментах.– Львів: Видавничий центр лну імені Івана Франка, 2006. – 168 с.
- І. Основи теорії ймовірностей
- Формула повної ймовірності
- Формули Байєса
- Задачі до розділу і.
- Іі. Випадкова величина Поняття випадкової величини
- Функція розподілу випадкової величини
- Щільність розподілу неперервно розподіленої випадкової величини
- Характеристики розподілу випадкової величини
- Математичне сподівання випадкової величини
- Дисперсія та стандартне відхилення випадкової величини. Асиметрія і ексцес.
- Квантилі
- Деякі дискретні розподіли Розподіл Бернуллі
- Біномний розподіл
- Апроксимаційні формули Муавра-Лапласа Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо у схемі Бернулі величина , коли , то
- Функція розподілу двовимірної випадкової величини
- Умовні закони розподілу
- Коваріація і коефіцієнт кореляції
- Коваріаційна матриця і матриця парних кореляцій
- Граничні закони теорії ймовірностей Нерівність Чебишева
- Теорема Чебишева
- Закон Бернуллі
- Теорема Ляпунова
- Задачі до розділу іі.
- Ііі. Елементи математичної статистики
- Генеральна сукупність і вибірка
- Дискретний варіаційний ряд
- Інтервальний варіаційний ряд
- Точкові та інтервальні оцінки
- Поняття про статистичну перевірку гіпотез
- Задачі до розділу ііі.
- Іv. Методи математичної обробки даних у психології Ознаки і змінні. Шкали вимірювання ознак
- Перевірка гіпотези про однорідність вибірки
- Перевірка гіпотези про узгодженість розподілів
- Критерій Пірсона
- Критерій Колмогорова
- Критерій Смирнова
- Перевірка гіпотези про рівність двох дисперсій
- Виявлення відмінностей у рівні досліджуваної ознаки Критерій Розенбаума
- Критерій Манна-Уітні
- К ритерій Стьюдента
- І. Вибірки взяті з однієї генеральної сукупності
- Іі. Вибірки взяті з різних генеральних сукупностей
- Перевірка наявності зсуву у значеннях досліджуваної ознаки
- Критерій знаків
- Критерій Вілкоксона
- Парний t-тест Стьюдента
- Перевірка впливу фактора на зміну рівня досліджуваної ознаки
- Критерій Краскела-Уоллеса
- Критерій тенденцій Джонкхієра
- Критерій Фрідмана
- К ритерій тенденцій Пейджа
- Однофакторний дисперсійний аналіз
- П еревірка наявності зв’язку між двома ознаками
- Зв'язок ознак, виміряних у номінативних шкалах
- Зв'язок ознак, виміряних у порядкових шкалах
- Зв'язок ознак, виміряних в інтервальних шкалах
- Задачі до розділу іv.
- Критичні значення розподілу
- Критичні значення розподілу Фішера-Снедекора
- Критичні значення критерію Розенбаума
- Критичні значення критерію Манна-Уітні
- Критичні значення критерію знаків
- Критичні значення критерію Вілкоксона
- Критичні значення критерію Краскела-Уоллеса
- Критичні значення критерію Джонкхієра
- Критичні значення критерію Фрідмана
- Критичні значення критерію Пейджа
- Критичні значення рангового коефіцієнта кореляції Спірмена
- Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.
- Визначник матриці. Обернена матриця
- Системи лінійних алгебричних рівнянь
- Вступ до математичного аналізу
- Числові послідовності та їх границі
- Границя функції в точці. Односторонні границі
- Неперервність функції
- Диференціальне числення функцій однієї змінної Похідна функції в точці
- Диференційовність функції
- Монотонність функції. Екстремуми
- Похідні вищих порядків
- Інтегральне числення функцій однієї змінної Первісна функції. Невизначений інтеграл
- В изначений інтеграл
- Невластиві інтеграли
- Частинні похідні функцій багатьох змінних
- Д о д а т о к 3: Деякі команди Maple 8.
- Алфавітний покажчик
- Основи теорії ймовірностей і статистичні методи аналізу даних у психологічних і педагогічних експериментах