logo search
Теория игр

Статистические игры без эксперимента. Представление игры с природой в виде s-игры

Статистические игры могут быть представлены в виде S-игры, как это делалось в стратегических играх, т. к. и в данном случае представление в виде S-игры ориентировано на минимаксное решение.

Рассмотрим представление на примере.

Пример: задача о замене оборудования. Дорогое оборудование после k лет эксплуатации может оказаться в одном из трёх состояний.

  1. z =V — оборудование работоспособно, требует лишь мелкого ремонта;

  2. z =V — некоторые детали серьёзно износились, требуется капитальный ремонт;

  3. z =V — основные детали очень износились, требуется полная замена.

Прошлые годы эксплуатации показывают, что оборудование может находиться в 1-ом состоянии с вероятностью q = 0,2; во 2-ом состоянии — с вероятностью q = 0,5; в 3-ем состоянии — с вероятностью q = 0,3. В качестве статистика рассмотрим руководство предприятия, которое может принять 3 различных способа действий:

  1. x =a — оставить оборудование работать ещё год, сделав мелкий ремонт своими силами;

  2. x =a — будет вызвана организация для выполнения капитального ремонта;

  3. x = a — будет демонтировано старое и куплено новое оборудование.

В примере установлена матрица потерь, которые понесёт предприниматель, принимая решение x = a в условиях z =V .

Таблица потерь:

V

q(V)

a1

a2

a3

L(V,a1)

L(V,a2)

L(V,a3)

V1

0,2

1

3

5

4,8

3,4

3,9

V2

0,5

5

2

4

V3

0,3

7

6

3

Очевидно, что наименьшие потери предприятие понесёт при стратегии a (x ). Т. о. определяющую средние потери a (x ) называют байесовскими потерями.

В пространстве эту игру можно представить следующим образом:

C 1 = (1,5,7)

C2 = (3,2,6)

C3 = (5,4,3)

Статистик минимизирует свои потери, играя за природу.

Пример:

На обработку поступает сырьё.

Вероятность

0,6 V <ПДК (предельно допустимая концентрация)

0,4 V >ПДК

Для обработки этого сырья можно использовать три технологии a , a , a .Затраты, которые понесёт предприятие, представлены в следующей таблице:

V

q(V)

a1

a2

a3

L(V,a1)

L(V,a2)

L(V,a3)

V1

0,6

0

1

3

2

1,8

3,6

V2

0,4

5

3

2

a — оптимальная байесовская стратегия. Эту игру можно рассмотреть в виде S-игры на плоскости:

S* — линейно выпуклая оболочка игры

Эта линейная выпуклая оболочка представляет область всех возможных стратегий статистика, как чистых, так и смешанных. Возникает вопрос: как выбирать оптимальную стратегию в этой игре?

Вопрос о выборе оптимальной стратегии остаётся открытым. Тем не менее, не давая ответа на вопрос что нужно делать, можно ответить на вопрос, что делать не нужно в этой игре.

Вводится понятие допустимых стратегий, аналогичное понятию недоминируемых стратегий в матричных играх).