Самоучитель по Maple

13. Разделение изотопов

Разделение изотопов

Рассмотрим еще одну классическую задачу ядерной физики — разделение изотопов (атомов с одинаковым зарядом ядра, но разной массой). Для этого используют различные способы. В частности, это может быть масс-спектроскопический метод. Из точки А вылетают однозарядные ионы (q = е = 1.6*10^-19Кл) разной массы (от 20 до 23 а.е.м.) и под разными углами в пределах от 80 до 100° к оси х в плоскости ху (рис. 17.9). Вдоль оси z приложено магнитное поле В=10^-2Тл. Рассчитаем траектории полета частиц. Будем надеяться, что это подскажет способ разделения изотопов.

Приступим к решению данной задачи. Сила Лоренца, действующая на движущуюся частицу, F = q*(E+[v, В]). Проекции векторного произведения [v, В] на оси х, у, z заданы выражениями:

[v.B]x-vy*Bz-vz*By [v,B]y-vz*Bx-vx*Bz [v,B]z=vx*By-vy*Bz

Рис. 17.9. Иллюстрация к методу разделения изотопов

В соответствии с этим дифференциальные уравнения, описывающие траекторию полета частицы по осям х, у, z имеют вид:

Зададим исходные числовые данные для расчета:

> q:=1.6e-19:V:=le4:

> Vx:=V*cos(a1pha):Vy:=V*sin(a1pha):Ex:=0:Ey:=0:Ez:=0:Bx:=0: By:=0:Bz:=le-2:

Выполним решение составленной выше системы дифференциальных уравнений:

Построим графики решения:

Эти графики показаны на рис. 17.10.

Рис. 17.10. Траектории движения частиц

Полученные графики (рис. 17.10) наглядно показывают на одну из возможностей разделения изотопов. Как говорится, осталось подставить «стаканчик» в нужное место для ловли нужных изотопов. Разумеется, это только изложение идеи одного из методов разделения изотопов. Увы, на практике приходится использовать сложнейшие и дорогие физические установки для решения этой актуальной задачи.

27.gif

28.gif

29.gif

30.gif

31.gif

14. Моделирование рассеивания альфа-частиц

Моделирование рассеивания альфа- частиц

Одним из фундаментальных доказательств существования ядра у атомов стал опыт с бомбардировкой тонкой фольги из металла альфа- частицами с высокой энергией. Если бы «массивных» ядер не существовало, то альфа- частицы должны были бы спокойно пролетать сквозь тонкую фольгу, практически не отклоняясь. Однако, как физики и ожидали, некоторая часть частиц испытывала сильное отклонение и даже поворачивала назад. Очевидно, что имели место отскоки (упругие столкновения) с малыми, но массивными ядрами металла фольги.

В нашем распоряжении, увы (а может быть и к счастью), нет ускорителя альфа- частиц. Так что мы, не опасаясь облучения и очередной Чернобыльской катастрофы, сможем смоделировать это интереснейшее физическое явление с помощью математической системы Maple 7. Причем спокойно сидя перед своим домашним компьютером и глубокомысленно наблюдая за траекториями полета альфа- частиц.

Итак, пусть в нашем теоретическом опыте альфа- частицы с энергией 4 МэВ рассеиваются тонкой золотой фольгой. Рассчитать траекторию частицы, приближающейся к ядру атома Аи. Прицельное расстояние р равно 2*10^-15м. Приступим к решению задачи и зададим вначале систему дифференциальных уравнений для траектории альфа- частицы:

Введем исходные числовые данные для вычислений:

> ql:=2*i;6e-19:q2:=79*1.6e-19:massa:=4*1.67e-27:EO:=8.85e-12: a:=4e-13:

p:=5e-15:T:=4e6*1.6e-19:V0x:=sqrt(2*T/massa):

Создадим графическую структуру решения нашей системы дифференциальных уравнений для нескольких расчетных отклонений линии движения альфа- частицы от центра ядра атома, находящегося на ее пути:

> with(DEtools):ss:=DEplot({sys},{y(t),x(t)},t=0..7e-20.

[[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p,D(y)(0)=0].

[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*4.D(y)(0)=0],

[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*8,D(y)(0)=0],

[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*12,D(y)(0)=0].

[x(0)=-a;D(x)(0)=VOx,y(0)=p*16,D(y)(0)=0],

[x(0)-a.D(x)(0)-VOx.y(0)-p*20,D(y)(0)-0].

[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*24,D(y)(0)=0],

[x(0)=-a,D(x)(0)=VOx,y(0)=p*28,D(y)(0)=0]],

x(t)=-a..a,scene=[x(t),y(t)],stepsize=le-21,1inecolor=bl ack):

> with(plottools):yy:=circle([0.0],2E-14,color=red,thickness=2):

Warning, the name translate has been redefined

Построим центр ядра (кружок со знаком +) и траектории альфа- частиц:

> ss2:=PLOT(TEXT([0.-0.3e-14],'+'), FONT(HELVETICA, OBLIQUE.14)):

Осталось построить график траекторий движения альфа- частиц вблизи центра атома: i

> with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> disp1ay([ss,yy,ss2],tit1e='Pacceивание а-частиц',axes=framed);

График траекторий движения альфа- частиц вблизи ядра представлен на рис. 17.11. Этот график настолько нагляден, что не требует пояснения.

Моделирование движения альфа- частиц вблизи малого и «массивного» ядра атома дает наглядное представление о математической и физической сути данного опыта. Надо лишь помнить, что нельзя нацеливать альфа- частицы прямо в центр ядра. Более сложные, чем приведенные, расчеты показывают, что при этом альфа-частица настолько близко подходит к ядру, что надо учитывать новые факторы, возникающие при близком взаимодействии. Они могут привести к тому, что частица будет поглощена ядром- Но это уже тема нового разговора,, выходящего за рамки данной книги.

Рис. 17.11.Траектории движения альфа- частиц вблизи ядра атома

32.gif

33.gif

Содержание