Критерій Колмогорова

Критерій Колмогорова застосовують для перевірки узгодженості емпіричного розподілу деякої випадкової величини із заданим неперервним теоретичним розподілом, тобто для перевірки гіпотез:

розподіл ознаки збігається з даним теоретичним;

ознака розподілена за відмінним від заданого законом.

Критерій ґрунтується на зіставленні нагромаджених емпіричних і теоретичних частот (кумулянт). Статистикою виступає величина

,

де — гіпотетична функція розподілу досліджуваної випадкової величини, — емпірична функція розподілу. Критична область — правостороння. Статистика виражає максимальну розбіжність між емпіричною і теоретичною функціями розподілу, що дозволяє оцінити узгодженість розподілів поточково.

Якщо справджується нульова гіпотеза, то для достатньо малих проміжків інтервального варіаційного ряду і для достатньо великого обсягу вибірки статистика D має граничний розподіл, який не залежить від функції F, а саме

,

що дозволяє визначати критичні значення (а відповідно і ) для заданого рівня значущості з наближеного рівняння

.

Зокрема для , а для .

Якщо емпіричне значення статистики , то з надійністю приймається гіпотеза , в іншому випадку приймається альтернативна гіпотеза .

Приклад 23. Чи можна стверджувати, що час, затрачений учнями на розв’язування поставленої задачі (приклад 16), розподілений за логнормальним законом?

Розв’язання: Логнормальний розподіл з параметрами а та задається щільністю

Враховуючи, що для логнормального розподілу математичне сподівання і дисперсія пов’язані з параметрами розподілу рівностями , та оцінки (див. приклад 21), знаходимо значення та .

Висуваємо гіпотези:

спостережувані затрати часу мають логнормальний розподіл з параметрами та ;

розподіл спостережуваних затрат часу відмінний від логнормального.

Об’єм вибірки п = 124. Розбивши додатну піввісь на 11 інтервалів обчислимо емпіричні відносні частоти, значення емпіричної і теоретичної функцій розподілу для верхніх меж проміжків та їх різниці.

Таким чином емпіричне значення і . Оскільки , то на рівні значущості приймаємо гіпотезу , яка стверджує що даний розподіл збігається з логнормальним.