Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Широко используются следующие два предела

1)

2) ,

которые называются соответственно первым и вторым замечательными пределами.

Если (т. Е. для любого>0 существует число >0, такоечто при 0<< справедливо неравенство <), то называется бесконечно малой функцией или величиной при х.

Для сравнения двух бесконечно малых функций и прихнаходят предел их отношения

(1)

Если С0, то и называются бесконечно малыми величинамиодного и того же порядка; если С=0, то называется бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с , а - бесконечно малой более низкого порядка по сравнению с .

Если (0<<),то называется бесконечно малой порядка k, по сравнению с при х.

Если , то бесконечно малые и при хназываются эквивалентными (равносильными) величинами и обозначают ~.

Например, при х ~ ,~ х, ~ х, —1~ ..

Легко доказать, что предел отношения бесконечно малых функций и при хравен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функцийи при х, т.е. верны предельныеравенства

Лекция 11.