Признаки сходимости рядов

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных условий сходимости рядов с неотрицательными членами.

Для того чтобы, ряд снеотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Установим ряд признаков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

Признак сравнения.

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда: из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Признак Даламбера (Даламбер Жан Лерон (1717-1783)-французский математик, механик и философ-просветитель).

Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел .Тогда: а) при ряд сходится; б) при ряд расходится.

Интегральный признак.

Пусть дан ряд ,члены которого являются значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале .

Тогда, если сходится, то сходится и ряд ;

если же расходится, то ряд также расходится.

Гармонический ряд:

расходится, так как .

До сих пор мы рассматривали ряды с неотрицательными членами. Ряды с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем (-1), поэтому вопрос об их сходимости решается аналогично.

Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде:

, где .

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий очень простой достаточный признак сходимости.

ПризнакЛейбница.

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают: и общий член ряда стремится к нулю , то ряд сходится.

Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды называются знакопеременными рядами.

Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд

,

где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно.

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его слагаемых:

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из модулей его слагаемых расходится.