3.2. Простейшие задачи на метод координат

Простейшими задачами на метод координат считают: определение расстояния между двумя точками и деление отрезка в заданном отношении. Решаются эти задачи проще в прямоугольной системе координат.

1. Расстояние между двумя точками:

Замечание. В пространстве добавляется еще одна, третья координата z и формула (11) принимает следующий вид:

.

2. Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть точка М делит отрезок М₁М₂ в отношении , т.е. так, что

Тогда координаты точек М(x; y), М₁(x₁; y₁), М₂(x₂; y₂) связаны соотношениями

(12)

а при  = 1 соотношениями

(13)

Примечание. При рассмотрении этой задачи в пространстве в формулах (12), (13) добавляется аналогичное равенство для z.

Пример 11. Даны вершины треугольника А(0; –3), В(1; –1), С(5; 3). Найти длину стороны ВС и длину медианы АД.

Решение

Длину стороны ВС найдем по формуле (11), взяв за первую точку точку В, а за вторую — точку С.

Для определения длины медианы АД найдём сначала координаты точки Д. Так как точка Д делит отрезок ВС пополам, то по формуле (13) находим

Следовательно, точка Д (3;1). А теперь снова по формуле (11) находим

Таким образом,