1.3. Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

(5)

Решением системы (5) называют упорядоченную тройку чисел x = α, y = β, z = γ, удовлетворяющих всем уравнениям системы. Система (5) может не иметь решений, может иметь одно или бесконечное множество решений. Существует достаточное число способов отыскания решений системы (5). Мы рассмотрим два из них: метод Крамера и метод Гаусса. Для метода Крамера надо ввести главный определитель системы. Он имеет вид (3). Если Δ ≠ 0, то система (5) имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

(6)

где

Пример 5 [1, к задачам № 11-20]. Решить по формулам Крамера систему линейных уравнений.

(8)

Решение

Вычислим главный определитель системы

т.к. Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.

Вычислим определители Δ_x, Δ_y, Δ_z по формулам (7):

По формулам Крамера (6) находим:

Ответ: x = 1; y = 2; z = 3.

Рассмотрим теперь метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса [2, гл. I, п. 4.4]. Исключение неизвестных осуществляется с помощью равносильных действий над уравнениями системы. Этим методом система (5) преобразуется в равносильную систему треугольного вида:

После этого из третьего уравнения находим z, из второго — y, из первого — x.

Пример 6. Решить методом Гаусса систему уравнений (8).

Решение

Поменяем местами первое и третье уравнения:

Умножим все члены первого уравнения системы на (–3) и прибавим ко второму, получим систему

Теперь умножим все члены первого уравнения на (–2) и прибавим к третьему, получим систему

Разделим все члены второго уравнения на 5 (коэффициент при y):

Умножим второе уравнение на (–3) и прибавим к третьему уравнению. Тогда получим систему

из которой последовательно находим

Ответ: x = 1, y = 2, z = 3.

Как видим, оба метода дают один и тот же результат.

Замечание. Методом Гаусса можно решать линейную систему при любом числе уравнений, а также и в случае, когда ее определитель равен нулю и когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных.

Контрольные вопросы

1. Матрицы и их виды.

2. Действия над матрицами.

3. Определители второго и третьего порядков, их свойства.

4. Понятие минора и алгебраического дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца.

5. Общие сведения о системах линейных уравнений.

6. Методы решения систем линейных уравнений.

2. Элементы векторной алгебры

В векторной алгебре [2, гл. II] выделяют три наиболее важных вопроса:

1) понятие и виды векторов;

2) действия над векторами;

3) применения векторов.

Для удобства представим необходимые сведения по этим вопросам в виде таблиц 1-3.

2.1. Понятие вектора, виды векторов

Таблица 1

Основные определения

Продолжение таблицы 1