1.1. Понятие матрицы. Действия над матрицами

Определение 1. Матрицей (прямоугольной матрицей) размера m  n называют прямоугольную таблицу из m  n чисел или функций, называемых элементами матрицы.

Матрицу записывают в виде .

Элементы, расположенные на одной горизонтали, образуют строку, а на одной вертикали — столбец матрицы.

Если m = n, то матрицу называют квадратной матрицей n-го порядка.

Например, — квадратная матрица 2-го порядка,

— квадратная матрица 3-го порядка и т.д.

Матрицы можно складывать, вычитать, умножать на число, перемножать. В результате таких действий должна получаться матрица. Первые три операции обычно не вызывают затруднений. Так, чтобы сложить (вычесть) две матрицы одинакового размера, надо сложить (вычесть) соответствующие элементы матриц [2, гл. 1, § 1]; чтобы умножить матрицу любого размера на число, надо умножить на это число все элементы матрицы.

Пример 1. Для матриц найти матрицы:

1) 2А; 2) А + В; 3) 2А – В.

Решение

1)

2)

3)

Сложнее с операцией умножения матриц. Рассмотрим эту операцию на примере квадратных матриц 3-го порядка:

Определение 2. Произведением матрицы А на матрицу В называют новую матрицу элементы которой получаются по правилу

c_ik = a_i1b_1k + a_i2b_2k + a_i3b_3k, (1)

где i, k  {1, 2, 3}.

Таким образом, для получения элемента c_ik матрицы С надо взять сумму произведений элементов i-й строки первой матрицы А и соответствующих элементов k-го столбца второй матрицы В.

Пример 2. Найти произведение матриц

Решение

По определению 2 и формуле (1) находим:

Для получения с₁₁ надо взять из первой матрицы первую строку, а из второй — первый столбец, перемножить соответствующие элементы и сложить:

с₁₁ = 3 · 1 + 1 · 0 + (–1) · 3 = 0.

Аналогично получим остальные элементы матрицы С:

с₁₂ = 3 · 0 + 1 · (–1) + (–1) · 1 = –2; с₁₃ = 3 · 2 + 1 · 4 + (–1) · 5 = 5;

с₂₁ = 1 · 1 + (–2) · 0 + 0 · 3 = 1; с₂₂ = 1 · 0 + (–2) · (–1) + 0 · 1 = 2;

с₂₃ = 1 · 2 + (–2) · 4 + 0 · 5 = –6; с₃₁ = 4 · 1 + 0 · 0 + 2 · 3 = 10;

с₃₂ = 4 · 0 + 0 · (–1) + 2 · 1 = 2; с₃₃ = 4 · 2 + 0 · 4 + 2 · 5 = 18.

Следовательно,

На практике эту операцию лучше выполнять следующим образом:

Замечание. Аналогично можно перемножать матрицы любых размеров, но при одном условии: число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй матрицы.