3.8. Понятие уравнения поверхности в пространстве

Пусть задана поверхность S и введена прямоугольная система координат 0хуz (рис. 14).

Рис. 14. Графическое представление поверхности в пространстве

Уравнением поверхности S относительно системы 0хуz называют уравнение

F(x, y, z) = 0, (23)

которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней.

Например, для всех точек плоскости х0у аппликата z = 0. Это равенство и будет уравнением координатной плоскости х0у. Аналогично получаем уравнения других координатных плоскостей (рис. 15).

Рис. 15. Графическое представление координатных плоскостей:

z = 0 — уравнение плоскости х0у,

у = 0 — уравнение плоскости х0z,

х = 0 — уравнение плоскости y0z.

Для вывода уравнения поверхности обычно используют то свойство, которым обладают все точки поверхности.

Например, для сферы — множества точек М(x, y, z) пространства, удалённых от точки (центра) О₀(x₀, y₀, z₀) на расстояние R, — можем получить [2, гл. IV, п. 12.1] уравнение

(х – х₀)² + (у – у₀)² + (z – z₀)² = R². (24)

Разумеется, если имеем уже известное уравнение, то сможем построить соответствующую ему поверхность.

Пример 17 [1, к задачам № 51-60, п. d].

Дано уравнение х² + у² + z² – 4z = 0.

Установить, какую поверхность в пространстве оно определяет и сделать схематический рисунок.

Решение

Приведём это уравнение к виду (24). Как и в примере 16, п. 3, выделим полный квадрат в слагаемых, содержащих переменную z. В результате получим уравнение, которое является частным случаем уравнения (24).

х² + у² + (z – 2)² = 4.

Это означает, что данное уравнение определяет сферу с центром в точке О₀(0; 0; 2) и радиусом R = 2 (рис. 16).

Рис. 16. Изображение сферы х² + у² + z² – 4z = 0