3.9. Плоскость

Плоскость — это самая простая поверхность. Её общее уравнение имеет вид

Ах + Ву + Сz + D = 0,

где А, В, С, D — заданные числа.

При этом числа А, В, С являются координатами нормального (перпендикулярного плоскости) вектора .

Уравнение плоскости выводят с помощью положений векторной алгебры [2, гл. IV, п. 12.2]. Например, для плоскости, проходящей через три заданные точки М₁(x₁, y₁, z₁), М₂(x₂, y₂, z₂) и М₃(x₃, y₃, z₃), получают уравнение

(25)

Пример 18 [1, к задачам № 41-50, п. 2]

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; –2; –1), В(2; 3; 0) и С(6; 2; 2).

Решение

Воспользуемся уравнением (25). За первую точку возьмём точку А, за вторую — точку В, за третью — точку С. В результате получим

или .

Разлагая определитель по элементам первой строки, получаем

,

или после преобразований уравнение .

Нормальным вектором этой плоскости будет вектор = (11; 2; –21).

Ответ:

11х + 2у – 21z – 28 = 0 — уравнение плоскости АВС;

= (11; 2;–21) — нормальный вектор.