2.3. Применения векторов

Рассмотренные операции над векторами, а также получающиеся из них следствия широко используют в практике (табл. 3).

Таблица 3

Основные применения векторов

Продолжение таблицы 3

Пример 9 [1, к задачам № 21-30]. Даны координаты вершин пирамиды ДАВС: А (1; 2; –1), В (0; 1; 5), С (–1; 2; 1), Д (0; 1; 6). Средствами векторной алгебры найти:

1) координаты векторов

2) длину вектора

3) площадь грани АВС;

4) объем пирамиды ДАВС.

Решение

1. Сначала найдем координаты векторов . Как и в примере 7, по формуле (10) получим:

2. Найдем теперь координаты вектора Для этого воспользуемся 1, 2, 3 пунктами таблицы 2. Тогда получим:

Для определения длины вектора можно воспользоваться результатом пункта 1 из таблицы 3:

3. Угол между векторами найдем, используя п. 3 табл. 3:

4. Площадь грани АВС (см. п. 7, табл. 3,) равна:

Так как

то с учетом п. 1 табл. 3 получим

А площадь грани (ед.²).

5. Объем пирамиды ДАВС (см. п. 8 табл. 3) равен

Найдем смешанное произведение (см. п. 8 табл. 2):

Объем пирамиды .

Контрольные вопросы

1. Дайте понятие базиса на плоскости и в пространстве.

2. Дайте понятие координат вектора на плоскости и в пространстве.

3. Что такое скалярное произведение векторов? Где оно применяется?

4. Дайте определение векторного произведения векторов и укажите, где его применяют.

5. Дайте определение смешанного произведения векторов и укажите, где его применяют.