3.3. Понятие уравнения линии на плоскости

В аналитической геометрии на плоскости, говоря о «точке», мы подразумеваем «пару чисел» и наоборот. Аналогичная картина наблюдается при изучении линий. Здесь: «линия» ↔ «уравнение». Такое соответствие между геометрическими и алгебраическими объектами позволяет использовать в геометрии законы алгебры и анализа. Пусть на плоскости задана линия  и введена прямоугольная система координат х0у (рис. 4).

Рис. 4. Изображение линии и системы координат х0у

Уравнением линии  относительно прямоугольной системы координат называют уравнение

F(х, у) = 0,

которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней.

Примечание. Аналогично определяется уравнение линии  относительно любой другой системы координат, например полярной.

Для составления уравнения линии обычно используют то свойство, которым обладают все точки линии.

Но линию на плоскости можно рассматривать не только как множество точек, обладающих заданным свойством, а ещё и как траекторию движущейся точки М(х; у). Тогда её можно описать с помощью системы уравнений, определяющих положение точки М в зависимости от некоторого параметра t:

Эти два уравнения называют параметрическими уравнениями линии , а t — параметром.

Пример 12. Точка М(х; у) движется на одинаковом удалении R от начала координат с постоянной угловой скоростью . Описать траекторию движения точки с помощью уравнений.

Решение

Очевидно, траекторией движения точки будет окружность (рис. 5) с радиусом R и центром в начале координат.

Рис. 5. Изображение траектории движения точки М из начального положения (точка А)

За параметр t возьмём время движения точки М из начального положения А. Тогда ^ и параметрическими уравнениями окружности будут

.

Если же эту окружность рассматривать как множество точек плоскости, удалённых от точки 0 на расстояние R, то получим её уравнение (например, по теореме Пифагора) в прямоугольных координатах

Из определения уравнения линии вытекают следующие утверждения:

1)

2) координаты точек пересечения линий, заданных уравнениями F₁(x, y) = 0 и F₂(x, y) = 0, находят из системы уравнений

Пример 13. Даны уравнения линий ₁ и ₂:

, .

Требуется:

1) найти точки пересечения линий;

2) проверить, лежит ли точка Q(1; 2) на линиях ₁ и ₂.

Решение

1. Точки пересечения линий ₁ и ₂ найдём, решая систему

Выражая из второго уравнения y = 2x и подставляя в первое, получим

Тогда у₁ = 0, у₂ = 4. Следовательно, точками пересечения линий ₁ и ₂ будут точки Р₁(0; 0) и Р₂(2; 4).

2. Проверим, лежит ли точка Q(1; 2) на линии ₁. Для этого подставим её координаты в уравнение этой линии:

1² + 2² – 6 · 1 – 2 · 2 = –5 ≠ 0.

Следовательно, Q  ₁. Аналогично делаем проверку принадлежности точки Q линии ₂:

2  1 – 2 = 0.

Значит, Q  ₂.