3.6. Кривые второго порядка

Кривой (линией) второго порядка называют линию, уравнение которой в прямоугольной системе координат х0у является уравнением второго порядка, т.е. уравнением вида

, (21)

где хотя бы одно из чисел А, В, С отлично от нуля, что обеспечивается условием

А² + В² + С²≠ 0.

С помощью преобразований системы координат [2, гл. III, § 11] уравнение (21) можно привести к одному из пяти простейших видов (табл. 4).

Таблица 4

Простейшие уравнения кривых 2-го порядка

Уравнение линии	Название	Изображение линии
1	2	3
1.	Окружность 0 — центр, R — радиус
2.	Эллипс 0 — центр, а, в — полуоси	При а > в: F₁(–с; о), F₂ (с; о) — фокусы, с² = а²– в²

Продолжение таблицы 4

1	2	3
3.	Гипербола 0 — центр, а, в — полуоси	F₁(–с; о), F₂(с; о) — фокусы, с² = а²+ в², x — асимптоты
3.1.	Гипербола, сопряженная гиперболе из п. 3	F₁(о; –с), F₂(о; с) — фокусы, с² = в²+а², x — асимптоты
4.	Парабола 0 — вершина, — фокус, — директриса, 0у — ось симметрии	при р > 0 при р < 0
4.1.	Парабола 0 — вершина, — фокус, — директриса, 0х — ось симметрии	при р > 0 при р < 0

Окончание таблицы 4

1	2	3
5.1.	Случаи вырождения	Точка О(0; 0)
5.2.		Мнимая окружность
5.3.		Мнимый эллипс
5.4.		Пара параллельных прямых
5.5.		Пара пересекающихся прямых

Замечание. Если в любом из этих уравнений заменить х и у соответственно на х – х₀ и у – у₀, то полученное при этом уравнение будет определять ту же линию, но сдвинутую параллельно в направлении оси 0х на х₀, а в направлении оси 0у — на у₀. Например, в соответствии со сказанным, уравнение

(22)

будет определять окружность радиуса R с центром в точке О₀(х₀; у₀). Аналогично получаются уравнения эллипса, гиперболы со смещенным центром и параболы со смещенной вершиной.

Yandex.RTB R-A-252273-3

Содержание

Yandex.RTB R-A-252273-4