3.10. Цилиндрические поверхности

Цилиндрической называют поверхность, образованную из параллельных прямых (образующих), которые пересекают заданную линию (направляющую) (рис. 17).

Рис 17. Изображение цилиндрической поверхности

Примечание. Название цилиндрической поверхности обычно определяется названием направляющей: эллиптический цилиндр, параболический цилиндр.

Особый интерес представляют цилиндрические поверхности с образующими, параллельными координатным осям [2, гл. IV, п. 12.7].

1. Уравнение F(х, у) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси 0z. Направляющая этой поверхности лежит в плоскости х0у. Её можно описать уравнениями

2. F(х, z) = 0 — цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси 0у.

3. F(у, z) = 0 — цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси 0х.

Таким образом, одно уравнение (23) в пространстве всегда определяет поверхность. Если же в этом уравнении отсутствует какая-либо переменная, то такое уравнение будет определять цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными той оси, название которой в уравнении отсутствует.

Пример 19 [1, к задачам № 51-60, п. 2]. Построить поверхность по уравнению у² – 4х = 0.

Решение

Это уравнение на плоскости х0у определяет параболу (рис. 18).

Рис. 18. Изображение уравнения у² = 4х на плоскости хОу (парабола)

В пространстве это же уравнение определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Оz (рис. 19). Направляющей этой поверхности является парабола, лежащая в плоскости х0у.

Рис. 19. Изображение уравнения у² = 4х в пространстве (цилиндр параболический)