3.4. Уравнения прямой линии на плоскости

Изобразим прямую  в прямоугольной системе координат (рис. 6).

Наиболее важными уравнениями прямой на плоскости являются:

1) уравнение прямой с угловым коэффициентом k и отрезком в:

y = kx + в;

2) уравнение прямой, перпендикулярной оси 0x:

x = a;

3) уравнение прямой, параллельной оси 0х:

у = в;

4) уравнение прямой, проходящей через заданную точку М₁(х₁; у₁) с угловым коэффициентом k:

y – y₁ = k (х – х₁); (14)

5) уравнение прямой, проходящей через две точки М₁ (х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂):

, (15)

где х₁  х₂, y₁  y₂.

Все эти уравнения — частные случаи уравнения прямой общего вида

Ах + Ву + С = 0 (16)

Замечание. Для прямой общего вида угловой коэффициент определяется по формуле

, (17)

а для прямой, проходящей через две точки М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂), — по формуле

. (18)

Пример 14 [1, к задачам № 31-40, п. 1, 2]. Даны вершины треугольника: А(1; 2), В(–1; –3) и С(5; –7).

Требуется:

1) написать уравнение и найти угловой коэффициент прямой АВ;

2) найти угловой коэффициент прямой ВС;

3) написать уравнение медианы АD.

Решение

1) Уравнение прямой АВ напишем как уравнение прямой, проходящей через две точки. За первую точку возьмём точку А, а за вторую — точку В. Тогда х₁ = 1, у₁ = 2; х₂ = –1; у₂ = –3.

По формуле (15) получим

или

5x-2y-1=0 — уравнение АВ.

Угловой коэффициент прямой АВ находим по формуле (17):

.

2) Для того чтобы найти угловой коэффициент прямой ВС, необязательно выводить её уравнение. Можно сразу воспользоваться формулой (18).

Взяв за первую точку — точку В, а за вторую — точку С, получим

, т.е .

3) Для того чтобы написать уравнение медианы АD, найдём сначала координаты точки D. Точка D делит отрезок ВС пополам. По формулам (13) получаем

, ,

т.е. D(2; –5).

Остаётся воспользоваться уравнением (15), как это было сделано в п. 1. В результате получим уравнение медианы АD

, .