3.12. Уравнения линии в пространстве

Одно уравнение в пространстве, как правило, определяет поверхность. А поскольку линию в пространстве можно рассматривать как пересечение поверхностей F₁ (x, y, z) = 0 и F₂ (x, y, z) = 0 или как траекторию движущейся точки, то её представляют в виде системы двух или трёх уравнений:

(26)

(27)

Систему (26) называют общими уравнениями линии в пространстве, а систему (27) параметрическими уравнениями линии в пространстве.

Например, прямую, проходящую через две точки М₁(x₁, y₁, z₁), М₂ (x₂, y₂, z₂), можно задать системой двух уравнений [2, гл. IV, п. 12.4]:

(28)

а прямую, проходящую через одну точку М₀(x₀, y₀, z₀) параллельно направляющему вектору = (m, n, p), системой двух уравнений [2, гл. IV, п. 12.4]:

, (29)

или системой трех уравнений

(30)

Уравнения (29)называют каноническими уравнениями прямой в пространстве, а уравнения (30) — параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Пример 20 [1, к задачам № 41-50, п. 1]. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(1; 2; –2), В(3; 5; –1), и найти точку, в которой она пересекает плоскость х0y.

Решение

Взяв за первую точку точку А, а за вторую — точку В с помощью формулы (28) получим

или

Это канонические уравнения прямой АВ.

Чтобы найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью х0у, надо объединить уравнения прямой с уравнением плоскости х0у, так как точка пересечения должна лежать на прямой и на плоскости. А так как для плоскости х0у имеем уравнение z = 0 (см. рис. 15), то получаем систему

Эта система легко решается. Надо z = 0 подставить в предыдущие равенства. В результате получим

Отсюда находим:

Следовательно, точкой пересечения прямой АВ с плоскостью х0у будет точка С(5; 8; 0).

Ответ:

— канонические уравнения прямой АВ;

С(5; 8; 0) — точка пересечения этой прямой с плоскостью хОу.

Пример 21 [1, к задачам № 41-50, п. 3]. Дана точка Р(5; 1; 4) и плоскость  (х – 2у + 3z + 13 = 0). Написать уравнения прямой, проходящей через точку Р перпендикулярно плоскости, и найти точку пересечения этой прямой с плоскостью  (рис. 20).

Решение

Изобразим условия задачи.

Рис. 20. Графическое представление к примеру 19

По уравнению плоскости находим её нормальный вектор = (1; –2; 3). Этот же вектор будет направляющим для прямой, перпендикулярной плоскости α, т.е. прямой PQ. Но тогда с помощью (29) получим канонические уравнения прямой PQ:

(31)

Для отыскания точки пересечения Q прямой (31) и плоскости α решим систему

Эту систему проще решить, если записать уравнения прямой в параметрическом виде. Для этого обозначим равенства через t и выразим из первых трёх равенств х, у, z. В результате получим:

Подставляя х, у, z в последнее уравнение, найдём t = –2. Но тогда из первых трёх уравнений системы находим х = 3, y = 5, z = –2. Таким образом: Q(3; 5; –2).

Ответ:

— канонические уравнения прямой PQ  α;

Q (3; 5; –2) — точка пересечения этой прямой с плоскостью α.

В заключение предлагаем самостоятельно построить тела, ограниченные поверхностями:

1) x + y + z – 1 = 0, x = 0, y = 0, z = 0 [3, гл. XIV, § 4, пример 1];

2) y² = 4x, x + z – 1 = 0, z = 0;

3) из задач № 231-240 [1].

Контрольные вопросы

1. Дайте определение уравнения линии на плоскости и приведите примеры линий и их уравнений.

2. Перечислите кривые второго порядка и запишите их канонические уравнения.

3. Дайте определение уравнения поверхности в пространстве и приведите примеры поверхностей и их уравнений.

4. Какими уравнениями можно задать линию в пространстве?