3.5. Задачи на прямую на плоскости

Для прямых ₁ и ₂, заданных уравнениями

; ,

имеем:

1) — условие параллельности ₁ || ₂;

2) — условие перпендикулярности ₁  ₂;

3) , (19)

где угол  между ₁ и ₂ отсчитывают от ₁ до ₂ в положительном направлении (т.е. против движения часовой стрелки).

Если надо найти острый угол между двумя прямыми, то используют формулу

.

4) Для определения расстояния от точки М₀(х₀; у₀) до прямой, заданной общим уравнением (16), используют формулу

. (20)

Пример 15 [1, к задачам № 31-40, п. 3, 4]. Даны вершины треугольника: А(–1; 0), В(2; 4) и С(3; 1).

Требуется:

1) написать уравнение высоты СD;

2) найти внутренний угол А;

3) найти длину высоты СD.

Решение

Для решения задачи сделаем схематический рисунок (рис. 7).

1) Сначала найдём угловой коэффициент прямой СD. Так как СD  АВ, то . Угловой коэффициент k_АВ найдём по формуле (18). За первую точку берём точку А, за вторую — точку В.

В результате получим

.

Но тогда .

Рис. 7. Схематический рисунок треугольника АВС

У прямой СD известен угловой коэффициент и точка С(3; 1). Поэтому можно воспользоваться уравнением прямой (14)

у – у₁ = k(х – х₁).

Учитывая, что х₁ = 3, y₁ = 1 и , получаем уравнение высоты CD:

2) Для определения внутреннего угла А воспользуемся формулой (19). Для выбора k₁ и k₂ пригодится рисунок треугольника АВС (см. рис. 7). Так как угол А должен отсчитываться в положительном направлении от прямой АС, то принимаем за k₁ = k_AC, а за k₂ = k_AB. У нас , а k_AC найдём по формуле (18):

.

Следовательно, . Поэтому внутренний угол А найдём из формулы

,

.

3) Длину высоты СD можно рассматривать как расстояние от точки С(3; 1) до прямой АВ. Составим уравнение АВ, как уравнение прямой, проходящей через точку А(–1; 0) с угловым коэффициентом

.

По формуле (14) получаем

.

Остаётся воспользоваться формулой (20).

В результате получаем

.

Таким образом:

1) — уравнение высоты СD;

2) ;

3) .