1.2. Понятие определителя

Определитель вводят для квадратных матриц. Порядок определителя совпадает с порядком матрицы. Определитель матрицы А обозначают А, det A, Δ, …

Для матрицы первого порядка А = (а₁₁) определитель (первого порядка) равен А = а₁₁.

Для матрицы второго порядка определитель (второго порядка) равен

Для матрицы третьего порядка определитель (третьего порядка) равен

(2)

Это правило называют правилом треугольников или правилом Саррюса. Его можно изобразить схематически следующим образом:

Пример 3. Вычислим по правилу (2) определитель:

Кроме правила треугольников, в практике используют еще один простой способ вычисления определителей, который вытекает из теоремы Лапласа. Этим способом можно вычислять определители любого порядка. Для этого способа нам потребуются минор и алгебраическое дополнение элемента.

Определение 3. Минором М_ik элемента a_ik определителя любого порядка называют новый определитель, который получается из данного после вычеркивания i-й строки и k-го столбца. Например, для определителя

(3)

минорами элементов а₁₁, а₁₂, … будут соответственно определители

Очевидно, что порядок минора на единицу меньше порядка исходного определителя.

Определение 4. Алгебраическим дополнением А_ik элемента а_ik определителя называют

A_ik = (–1)^{i + k}M_ik.

Например, для определителя Δ из (3)

А₁₁ = (–1)^{1 + 1}М₁₁ = М₁₁, А₁₂ = (–1)^{1 + 2}М₁₂ = –М₁₂.

Теорема Лапласа. Сумма произведений элементов какой-либо строки или столбца определителя  на соответствующие алгебраические дополнения равна определителю .

Эту теорему используют для вычисления определителей. Например, выбрав в определителе (3) первую строку, получим

. (4)

Формулу (4) называют разложением определителя по элементам первой строки. Вместо первой строки можно брать любую другую строку или любой столбец определителя.

Пример 4. Вычислим определитель из примера 3 по формуле (4).

Результат, разумеется, тот же, что и в примере 3.

Замечание. При вычислении определителя с помощью теоремы Лапласа обычно выбирают ту строку или столбец, где имеются нули. При этом нули можно получать искусственно с помощью свойств определителей [2, гл. I, п. 2.2].