Дифференциальные уравнения первого порядка.

Можно записывать в трёх основных формах:

Общая форма:

(x,y, )=0

Разрешённая форма:

=f(x,y) правая часть уравнения

Дифференциальная форма:

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Разрешённая и дифференциальная формы, вообще говоря, взаимно заменяемые, а из общей формы не всегда удаётся сделать две остальные.

)²+yx-x =0 – общая форма

– разрешённая форма

sin(xy)dx+x²dy=0- дифференциальная форма

= - разрешённая форма

Определение:

Общим решение дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида:

y = (x,c) или Ф(х,y,c) или

Функция вида в составе, которой обязательно присутствует постоянная «с», обладающая двумя свойствами.

1)При любом допустимом значении «с» функция обращает уравнение в тожество.

2)Какая бы не была точка М₀(x₀;y₀) из некоторой области D xoy найдётся такое значение «с» что график функции при данном «с» пройдёт через точку М₀.

Замечание:

Область D из которой взята точка М₀ нужно обговаривать заранее.

Определение:

Конкретная функция получается из общего решения при конкретном значении «с» называется частным решением дифференциального уравнения.

Задача Коши:

Найти частное решение дифференциального уравнения, которое проходит через конкретную выбранную точку.

Проблемы задачи Коши.

1)Проблема существования.

2)Проблема единственности.

3)Проблема поиска

Проблема существования и единственности решает теорема Коши.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка в разрешенной форме. Пусть в некоторой области D плоскости xoy правая часть уравнения непрерывна вместе со своей производной по y.

Тогда через каждую точку такой области проходит единственное решение дифференциального уравнения.

Замечание:

Если убрать непрерывность производной то существование остаётся, а единственность может быть нарушена.

Определение:

График частного решения называется интегральной кривой уравнения.

f(x;y)

1)Непрерывна в xoy

2) =x - Непрерывна в xoy

Через любую точка М₀(x₀;y₀) плоскости xoy пройдёт ровно один интегральная кривая

f(x;y)

1)Непрерывна в xoy

2) = рвётся на оси ох => в точках оси ох может нарушиться единственность, т.е. через каждую точку оси ох может пройти больше одной интегральной кривой.

В большинстве случаев аналитически решить дифференциальное уравнение практически невозможно- не найти ни общего, ни частного решения.

В практических задачах дифференциальное уравнение решается приближёнными методами, то есть интегральные кривые находятся, приближённо их заменяют кусочками гладких функций или ищут решения в виде ряда.

При приближенных решениях дифференциальных уравнений очень важным является строгое выполнение условий теоремы Коши.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка- особым решением уравнения называется функция, обладающая двумя свойствами:

1)Она обращает уравнение в тождество.

2)Через каждую точку её интегральной кривой проходит, по крайней мере, ещё одно решение дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение, интегрируемое в квадратурах.

Дифференциальное уравнение, интегрируемое в квадратурах, такое уравнение, для которого общее решение может быть найдено в конечном виде.

1)Уравнение с разделяющей переменной.

f₁(x) f₂(y) или к такому виду можно привести

Решается разделением переменных

f₁(x) f₂(y) => =

Замечание:

При разделении переменных может сузить область определения.

Функции, выпавшие из области определения, могут оказаться особым решением.

=> =

ln|y|= +c – неявная зависимость между x и y

Замечание:

Если при интегрировании получаются логарифмы то постоянную «с» удобно заносить под знак логарифма.

ln|y|= + ln|с|

ln| |= =>

= ; y= *c - общее решение.

Могла быть потеряна функция y 0

Решение ли оно: =x²*0 => верно, входит в общее решение при y=0 (с=0) => не особое.

Ответ: = y

Иногда к уравнению с разделяющимися переменными можно привести другое уравнение путём какой-нибудь замены.

Пример:

=sin(x-y)

Пусть замена имеет вид:

z=x-y => y=x-z; =1- =>

1- =sinz=> =1- sinz

=1- sinz=> = и.т.д

2) , y(1)=3 – Это задача Коши Найти интегральную кривую , проходящую через точку М₀(1;3)

Проверим теорему Коши

f ( =xy непрерывна на xoy в том числе в U М₀=> через точку М₀ пройдёт ровно одна интегральная кривая. y

3 M₀

1 x

=xy => = =>

ln|y|- ln|с|= =>

ln| |=

y=c

Подставим точку М₀

3=

=> Ответ: y= ( частное решение с решение задачи Коши.

2)Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

= или к такому виду можно привести

сводится к разделению переменных путём замены

z= , y=zx

=

x =y+ | : x

+

- типичное однородное уравнение

Заменим :

= + => => * \

= => = => 2 = ln|xс|

xc= – в неявной форме (общий интеграл)

3)Уравнение со сдвигом системы координат.

=

Прямые: =0

=0

Пересекаются:

Приводится к однородному, путём переноса начала координат в точку пересечения этих прямых.

y y₁

0₁ x₁

=0

0 =0

x

y y₁

M(x;y)=M(x₁;y₁)

0₁ x₁

0 x

x=x₀₁+x₁

y=y₀₁+y₁

начало в старой системе

Пример:

(2x-y+1)dx+(2y-x-1)dy=0

= =

Прямые:

=0

=0 пересекаются

= -3 0 , тогда

=0 y=2x+1 y₀₁=

=0 x-2(2x+1)+1=0 x₀₁=

0₁( ; ) – новое начало

Сдвиг:

x= , y=

Соответственно

= => =

= - это однородное уравнение

; , = =>

= – это уже разделённые переменные

= = => =

4)Линейное уравнение первого рода.

+ P(x)y=Q(x)

или

+P(y)x= Q(y)

Пусть дано уравнение:

+ P(x)y=Q(x)

Два способа решения:

I Метод Бернулли.

y=UV

a)

уравнение с разделением переменных =>находим V без «с»

б) => находим U c «с»

Ответ: y=U(x,c)V(x)

II Метод Лагранжа.

а) + P(x)y=0 без правой части =>находим решение в виде y=c

б)Полагают, что решение исходного уравнения имеет вид y=c => подставляют в исходное уравнение и находят с(х)

1)

=y ctgx+sinx

=sinx

Решим методом Бернулли.

y=UV

a) =>

=

ln|V|=ln|sinx|

V= sinx

б) => U=x+c

Ответ: y=UV=> y=( x+c)sinx –общее решение Линейного Однородного Уравнения.

2)

а)

– линейное относительно х

- решим методом Лагранжа.

-

=>

ln|x|=2ln|y|+ln|c| =>x=cy²

б)

Пусть x=c(y)y²

Подставим в дифференциальное уравнение.

(c(y)y²)²-

x=(-y^-3+c₁)y² – общее решение

5)Уравнение Бернулли.

+ P(x)y=Q(x)

или

+P(y)x= Q(y)

Алгоритм решения полностью совпадает с линейным уравнением.

Пример:

Пусть y=UV

a)

V=x

б)

=>

=>

=> U=

y= |^2

– общее интегральное уравнение Бернулли.

6)Уравнение в полных дифференциалах.

Уравнение в виде: P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 – уравнение в полных дифференциалах

Если его правая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных.

Теорема:

Для того чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно чтобы Py=Qx в некоторой области непрерывности P и Q и их производных.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

U(x,y)=с где U- функция восстановленная по полному дифференциалу.

Восстановление функции по её полному дифференциалу производится криволинейным интегрированием.

, =(P,Q) , M₀- некоторая произвольная начальная точка , М- некоторая текущая произвольная точка.

Линия интегрирования – произвольная кривая, лежащая в области непрерывности P и Q и их производных.

Замечание:

В качестве кривой удобнее всего брать ломанную со звеньями параллельными координатным осям.

П ример: D

М(x;y)

P = , Q=

= , =

U = => U= = + М₀(1;0) А(х;0)

M₀A: =(0;ln) ;

=0+0=0

AM: a=(( ,(

( y

= =( =

0 U

– общее решение.

Замечание:

Если взять произвольное уравнение в дифференциальной форме P₁(x;y)dx+ Q₁(x;y)dy=0,то оно вовсе необязательно является уравнение в полных дифференциалах.

Однако, всегда существует такая функция М(х;у), что уравнение М(х;у) P₁(x;y)dx+ М(х;у) Q₁(x;y)dy=0 умноженное на эту функцию будет являться уравнение в полных дифференциалах- такая функция называется интегрирующим множителем.

Общей методики нахождения интегрирующего множителя не существует.

§ 14