Частные производные функции n-переменных.

Пусть функция n-переменных задана в некоторой области D n-ого пространства, пусть координаты имеют вид.

z=f(M): D Еⁿ, М- внутренняя точка. M₀( )

Придадим независимое приращение координате х_1, а остальные координаты оставим без изменения

Назовём частным приращением по координате х₁ следующую разность:

Δ х₁ f(M₀)= f( + Δ х₁ )- f(M₀)

Частной производной по переменной х₁ назовём следующее соотношение:

lim

Δ х₁0

Обозначается частная производная следующим образом:

f^'’ = z’ или

x₁ M₀ x₁ M₀ M₀

Абсолютно аналогично можно ввести частную производную по любой переменной:

f'’x₂ , f'’ x₃ ,… , f'’ _xn

Каждая частная производная характеризует скорость изменения функции вдоль соответствующей координатной оси.

Все правила взятия производных остаются в силе.

z=arctg(x₁+x₁²)

z’x₁= 1, z’x₂= 2 x₂,

§4

Дифференцируемость функций n-переменных. Линеаризация функций.

Пусть функция n-переменных задана в некоторой области D n-ого пространства, точка М₀ внутренняя точка. Придадим независимое приращение каждой координате точки М₀.

M₀= ( _, )

Δ х₁ Δ х₂ Δ х_n

Получим новую точку M₁

M₀= ( + Δ х_1, )

Назовём полным приращением функции в точке M₀ следующую разность:

Δf(M₀)= f(M₁) -f(M₀)

Функция z= f(M)- называется дифференцируемой в точке M₀, если справедливо следующее соотношение:

Расстояние

Δf(M₀)= +о( M₀, M₁)) «о» более высокого порядка, чем M₀, M₁)

М₁М

Полн. Сумма.

Приращ. Слагаем.

Относит.

Приращ.

Оргум. Δ х_i

=const

Теорема (необходимое условие дифференцируемости)

Если функция дифференцируема в точке M₀, то в этой точке существуют все частные производные при этом:

A ₁= f ' ; A₂= f ' ,…, A_n= f '

x₁ M₀ x₂ M₀ x_n M₀

Теорема (достаточное условие дифференцируемости)

Если у функции в точке M₀ и её окрестности существуют все частные производные, при чём они непрерывны в точке M_0, то функция дифференцируема в точке M₀.

Определение:

Сумма слагаемых линейных относительно приращения аргументов в основном соотношении называется полным дифференцированием в точке M₀ и обозначается df(M₀).

Если z= f(M) дифференцируема в точке M₀ ,то df(M₀)

x_i M₀

Замечание:

Как и для функции одной переменной приращения независимых переменных отождествляют с их дифференциалами:

= d ; = d ; = d

df(M₀)=

x_i M₀

Если приращение аргументов невелики (работаем в окрестности точки M₀), о- малое можно не замечать

о ( M₀, M₁)), тогда справедливо приближённая формула:

f(M₀) df(M₀)



f(M) +d f(M₀) M U(M₀)  f(M₀)+ (x_i - x_i⁰) в U(M₀)

x_i M₀

Можно назвать линеаризацией функции в области точки M₀

Пример:

z=x₁ x₂²+x₂ x₃²+ x₁³

M₀=(1,2,3)

z ^’x₁=x₂²+3x₁²

z^’x₂=2x₁x₂+x₃² непрерывна в U(M₀) z= - дифференцируема в точке M₀

z^’x₃=2x₂x₃

z^’ =7; z^’ =13; z^’ = 12.

x₁ M₀ х² M₀ х₃ M₀

df(M₀)= 7d +13d +12d =7( -1)+13( +12(

f(M₀)=23

f(M) 23+7( )+13( +12( , в U(M₀)

§5