Понятие о задаче оптимизации.

Математически простейшая задача оптимизации звучит следующим образом:

Дона некоторая функция z= f(M) в D Eⁿ . В области D задана некоторая другая область, например D₁ в общем случае с ней не совпадающая D₁ D. Найти такую точку М₀ D₁ , что f (М₀)max (или min)по сравнению с другими точками D₁

Отметим:

Функция f(M) называется целевой функцией задачи.

Область D₁ – назовём областью допустимых планов, точку М₀ называём оптимальным планом задачи.

Проблемы задачи оптимума:

1)Проблема существования

2)Проблема единственности

3)Проблема поиска

Отметим:

Решение задачи оптимума в общем случае не возможно.

Для задач из разных областей техники разработали либо какие-то частные алгоритмы позволяющие найти оптимум в частных случаях, либо численные алгоритмы, позволяющие найти оптимум численным методом.

Пример:

z=x₁²+x₂²-х₁ х₂- х₁-х₂

D ₁: х₁ ≥0 D₁ х₁Ох₂

х₂ ≥0 D₁ х₁ох₂

х₁+ х₂≤3

Решить задачу оптимизации.

1)Функция непрерывна, а область замкнута и ограничена => функция достигнет своего супремума и инфинума .

Следовательно, решение задачи оптимума в любом случае существует.

2)Сколько оптимальных точек заранее сказать нельзя.

3)Оптимальные точки могут находиться либо на границах облости, либо являться внутренними точками.

Если оптимум находится во внутренней точке, то такой точкой может быть только точка возможного экстремума.

3 D₁ z=x₁²+x₂²-х₁ х₂- х₁-х₂

2х₁-х₂-1=0 2х₁-х₂=1

х₁=0 2х₂-х₁-1=0 2х₂-х₁=1

1,5 М₄

1 М₁ х₁+ х₂=3

М₃ 0,5

0,5 1 1,5 х₂=0 3

М₂

=> х₂=2 х₁-1=> - х₁+2(2 х₁-1)=1

3 х₁=3=> => М₁(1;1)

Остальные точки оптимума находятся на границе

1)х₂=0=> х₁ [0;3] =>z(х₁;0)=

=2х₁-1=0=>х₁=0,5

М₂(0,5;0)

2)х₁=0=> х₂ [0;3] =>z(х₂;0)=

=2х₂-1=0=>х₂=1/2

М₃(0;0,5)

3)х₁+х₂=3=> х₂=3- х₁=> х₁ [0;3], х₂ [0;3]

z(х₁; 3- х₁)= х₁+(3- х₁)²- х₁(3- х₁)- х₁-(3- х₁)= x₁²+(3- х₁)²+ x₁²-3 x₁-3

=4x₁+2(3- х₁)-3=2х₁-3=0=> х₁=1,5; х₂=1,5

М₄(1,5; 1,5)

Дополнительно включаем в исследование точки перелома или угловые точки М₅(0;0), М₆(3;0), М₇(0;3)

Точек возможного экстремума 7.

z min=> М₁(1;1)

z max=> М₆(3;0) и М₇(0;3)

§13