Формула Тейлора

Отметим:

Формулировка формулы Тейлора для многомерного случая ничем не отличается от случая одной переменной, если записать формулу Тейлора через дифференциалы.

Пусть функция z=f(M) m+1 раз дифференцируема в окрестности точки M₀, тогда справедлива формула Тейлора:

f(M₀)= +о( M, M₀)) M

M₀ MM₀

п олное приращение M₀ M, M₀)) f(M)- f(M₀)

Пример:

z=f(M)=sin(x₁-x₂)

Написать формулу Тейлора до второго порядка

В качестве M₀: M₀(0;0)

sin(x₁-x₂)- sin(0-0)= + + о( x₁, x₂), M₀(0;0))

M₀ M₀ M (0;0)

= d x₁+ d x₂= ( x₁- x₁₀)+ ( x₂- x₂₀)=cos(x₁-x₂) ( x₁- x₁₀)+

M₀ M₀

+(-cos(x₁-x₂) ( x₂- x₂₀))=1*x₁-1*x₂

M₀

= (d x₁)²+2 d x₁d x₂+ (d x₂)²= (x₁- x₁₀)²+2 ( x₁- x₁₀) ( x₂- x₂₀)+

M₀

+ (x₂- x₂₀)²=-sin(x₁-x₂)² (x₁- x₁₀)²+2sin(x₁-x₂) ( x₁- x₁₀) ( x₂- x₂₀)+(-sin(x₁-x₂)² (x₂- x₂₀)²=

M₀ M₀

0*x₁²+2*0* x₁*x₂+0*x₂²

Формула Тейлора и того:

sin(x₁-x₂)= + + , М₀))

§10