Поверхностные интегралы.

Используются для интегрирования скалярных и векторных функций заданных в трёхмерном пространстве.

Соответственно два типа поверхностных интегралов.

1)Поверхностный интеграл первого рода: функция скалярная f(x,y,z)

2)Поверхностный интеграл второго рода: функция векторная

z M_i

в области задана

y

x

Самый простой способ вычисления такого интеграла – параметризовать.

Пусть поверхность параметризуется.

V

при этом

U ,V новые переменные U

=>

=>

Следствие:

Пусть

- уже на оху является простой проекцией .

С помощью поверхностного интеграла первого рода можно считать любые характеристики поведения поверхности-оболочки расположенной в трёхмерном пространстве : статические моменты.

Служат для определения интегральных характеристик.

Пример:

Н айти статический момент относительно хоу части поверхности конуса отсечённого плоскостями z=1 , z=2 лежащего в первом октанте.

z=2

Δ

z=1 z=

y

D

x

2

x ,y

1

1 2

Поверхностный интеграл второго рода – (потоком вектора через поверхность ) называется следующий интеграл.

Предлагается что у поверхности две стороны.

– скалярное произведение.

Потоков всегда два в зависимости от выбранной ортонормали.

Соответственно

=> поток меняет знак в зависимости

Пусти =>

Пусть хорошо проецируется на оху.

Связь знаков координат и выбора стороны поверхности определяется по углу который составляет нужный намм орт с осью разрешённый координаты( в данном случае с осью oz)

Соответственно :

Если

Если .

Пример:

Найти П вектора через внешний n

z n₂(0,0,1)

Δ₂

z=x²+y²

cos(n_1,oz)<0

n₁

Δ₁

2 y

D

x 2

2

2