Системы дифференциальных уравнений – несколько уравнений взятых вместе.

Переменная, по которой берутся производная, как правило, одна и та же, чаще всего в системах переменную обозначают буквой t.

Производные по t обозначаются точками.

Определение:

Нормальной системой называется система дифференциальных уравнений следующего вида:

Если в правую часть системы в явном виде не входит время, то система называется автономной.

Для нормальной системы, как и для уравнения первого порядка можно ввести понятие общего решения, частного решения, задачи Коши.

Общее решение:

c - вектор произвольной постоянной

Частное решение:

Задача Коши:

Найти частное решение системы, удовлетворяющей начальному условию:

Определение:

Пусть дана нормальная система, кривая в n+1- мерном пространстве, являющаяся «графиком» частного решения, называется интегральной кривой системы.

t =t

;

;

t =t

Фазовым пространством нормальной системы называется n-мерное пространство

Определение:

Проекцией интегральной кривой на фазовое пространство называется фазовой траекторией нормальной системы.

Восстановить фазовую траекторию по интегральной кривой всегда возможно, а обратно нет.

;

- через неё пройдёт некоторая интегральная кривая.

t

t =t t

; M₀

х₂

фазовая траектория

х₁ фазовое пространство

Методов решения нормальной системы нет.

Существуют важные случаи: линейные нормальные системы.

Линейные нормальные системы называются системы следующего вида:

– ЛОС (линейные однородные системы)

–ЛНС(линейные неоднородные системы)

А – матрица(числовая)

- неоднородность

§22