Линейные уравнения первого порядка.

Определение:

Линейным уравнением первого порядка называется следующее дифференциальное уравнение.

коэффициенты уравнения в общем случае функции от х

- правая часть уравнения.

Будем предполагать, что старший коэффициент уравнения равен нулю

Теорема:

Если коэффициент линейного уравнения и его правая часть непрерывны на некотором интервале оси ох, то для любых начальных условий, если только х₀ берётся из этого интервала, задача Коши имеет единственное решение.

Следствие:

У линейных уравнений нет особого решения

1) Линейные однородные уравнения n-ого порядка f(х)

2 ) Линейные неоднородные уравнения n-ого порядка f(х)

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка

Теорема:

Общее решение линейные однородные уравнения n-ого порядка имеет вид следующей линейной комбинации:

, где - линейно независимые частных решения линейного уравнения.

Определение:

Упорядоченная совокупность из n независимых частных решений линейного уравнения называется фундаментом системы решений.

ЛНФ - нельзя получить тождественно равным нулю из линейной комбинации не уничтожив каждую.

Определение:

Вронскианом системы функций называется следующий определитель:

W(x)=

Теорема:

Вронскианом ФСР линейные однородные уравнения n-ого порядка не при одном значении х в 0 не обращается.

Замечание:

Для произвольного линейного однородного уравнения n-ого порядка найти ФСР невозможно, хотя для каждого

линейного однородного уравнения n-ого порядка существует бесчисленное множество ФСР.

Существуют важные частные случаи, для которых ФСР находится без интегрирования - линейные однородные уравнения n-ого порядка с постоянным коэффициентом.

§19