Некоторые сведения об особых решениях.

Если дифференциальное уравнение дано в разрешённой форме, то особыми решениями могут быть линии, на которых рвётся производная по у от правой части (f ^‘_y -рвётся). В общем случае особые решения могут быть огибающие общих решений:

О бщие

решения

огибающая

Огибающую можно найти из следующей системы уравнения.

Ф (х;у;с)=0

Ф^’_c(х;у;с)=0

Пример:

1 ) – рвётся при у , то есть на оси ох

f(х;у)

;

=x+c => y=(x+c)³ – семейство кубических парабол сдвинутых по оси ох

Ни при одной «с» из этого семейства ось ох: у(х) не получится.

При этом у(х) обращает уравнение в тождество (0)² – верно => т.е. у(х) – решение, особое.

огибающая (особое решение) у(х)=0

частное решение y=(x+c₀)³

2)

f(х;у)

– рвётся там же при у(х)

но у(х) – не является никаким решением уравнения.

3)

Решаем уравнение:

arcsiny=x+c; y=sin(x+c) – семейство синусоид, есть ли огибающая?

y -sin(x+c)=0

(y-sin(x+c))^’=0  -cos(x+c)=0

y =sin(x+c)

cos(x+c)=0 x+c= =>

y =1 - || ox

y= - 1- || ox => две огибающие, два решения-особых решения.

§15

Неразрешённые уравнения.

F(x,y,y^’)=0 – неразрешённое уравнение

Основное отличие от разрешённых уравнений – для неразрешённых, вообще говоря, не выполняется теорема Коши.

Методов решения разрешённого уравнения нет.

Можно выделить два частных случая.

1)y=f(y^’,x)

2)x= f(y^’,y)

Эти уравнения иногда интегрируются с помощью замены у^’=z при этом общее решение в параметрической форме.

Пример:

Замена => y=t²+xt-x

Продифференцируем полученное уравнение.

; - линейное уравнение первого порядка

x=UV

=> =>U=2(t(- =>

x=2(t(-

x=2

x(t)= 2

y(t)= - общее решение в параметрической форме.

§16

Уравнения высших порядков.

Уравнение n-ого порядка в общем виде:

F(x,y,y^’,…,y⁽ⁿ⁾)=0

В разрешённой форме:

y⁽ⁿ⁾= f(x,y,y^’,…, y^(n-1))

Для определения n-ого порядка можно сформулировать определение общего и частного решение, начальных условий и задачу Коши.

Общее решение будет содержать n-произвольных постоянных С₁, С₂,…, С_n,в частном решении все произвольные постоянные станут числами.

Начальные условия имеют вид:

у(х₀)=у₀

у^’(х₀)=^у’₀

:

=

Аналогично первому порядку можно сформулировать задачу Коши.

Пусть дано уравнение n-ого порядка в разрешённой форме, если правая часть уравнения как функция n-переменных непрерывна в некоторой n-мерной области D вместе с производными

то через каждую точку М₀(х₀,у₀)области D₁ плоскости xoy , которая является проекцией области D на двумерное пространство единственное частное решение удовлетворяющее начальным условием задачи Коши.

Как и для случая первого порядка методик нахождения общего решения не существует.

В некоторых случаях удаётся искусственным путём понизить порядок уравнения или решить специальными методиками.

Два основных типа n-ого порядка.

§17