Дифференцирование сложных функций.

Сложная функция n-переменных.

E^m

Eⁿ R

M= M z(f)

T

z=f(

Аналитически:

z=f(х₁, х₂,…, х_n)

х ₁= х₁ (t₁, t₂,…, t_m)

х₂= х₂ (t₁, t₂,…, t_m)

:

х_n= х_n (t₁, t₂,…, t_m)

При дифференцировании сложной функции применяется одна основная формула:

z^’t_j= z^’х_i * x_i^’_tj j=1…m

Пример:

z=x₁ x₂²+x₃³ x₂

x₁=t₁ -2 t₂

x₂= t₁² +5 t₂

x₃= t₁ + t₂³

z’t₁=z’x₁*x₁’t₁+z’x₂*x₂’t₁+z’ x₃*x₃’t₁= x₂²*1+(2*x₁ x₂+x₃³)*2t₁+3x₃² x₂ *1

z’t₂=x₂² (-2)+(x₁ 2x₂+x₃³)5+3x₃²x₂3t₂²

dz= z’x₁ dx₁+ z’x₂ dx₂+ z’x₃ dx₃

dx₁= x₁’t₁ dt₁+ x₁’t₂ dt₂

dx₂= x₂’t₁ dt₁+ x₂’t₂ dt₂

dx₃= x₃’t₁ dt₁+ x₃’t₂ dt₂

Частные случаи:

1)z= f(х₁, х₂,…, х_n)

х₁= х₁(t)

х₂= х₂(t)

х ₃= х₃(t)

Eⁿ

z

t M

z’_t= z’x_i x’i_t

₂₎ z= f(х₁, х₂,…, х_n)

х₁= х₁

х₂= х₁(х₁)

х_n= х_n(х₁)

z’x₁= + z’x_i x_i’x₁

§8

Неявные функции

Неявной функцией называется задание функциональной зависимости посредством функционального соотношения, не разрешённого относительно какой-либо переменной.

F(z,x₁,x₂,…,x_n)=0

Без дополнительного исследования нельзя сделать никаких выводов о:

1. Разрешимости соотношения относительно, например z.

2. Непрерывности получившейся функции.

3. Дифференцируемости получившейся функции.

Замечание:

Д аже если нашёлся такой набор чисел (z₀,x₁₀,x_20), что F(z₀,x₁₀,…,x_n0) 0-три поставленных вопроса всё равно остаются нерешёнными.

Теорема о неявной функции:

П усть дано функциональное соотношение F(z,x₁, x_2,…,x_n) , пусть N₀(z₀, x₀,x₁₀,…,x_n0) такая точка n+1 мерного пространства, что F(N₀) 0

Пусть F как функция n+1 переменной дифференцируема в точке N₀, и при этом F’_z 0,тогда существует такая окрестность М₀ (x₁₀,x₂₀,…,x_n0) Еⁿ в которой z является однозначной N₀

непрерывной, дифференцируемой функцией оставшихся n-переменных z=f(x₁, x_2,…,x_n) и при этом выполняется следующее соотношение:

i=1,n

Геометрически данная теорема означает следующий факт:

z

F(z,x₁, x_2,…,x_n)=0 (поверхность)

N₀

«График» функции z=f(x₁, x_2,…,x_n)

М₀

х₁

х₂ х_n

х₃

З амечание:

Если производная = 0, то кусочек поверхности может неоднозначно спроектироваться в окрестность точки М_0.

N₀

Пример:

z²+x₁²+x₂²-R²=0 R=const

F(z,x₁, x₂)

Выяснить: задает ли оно z как функцию x₁, x_2, если да – найти

F’z=2z

Она равна 0  => все точки вида N(x₁, x₂,0)- надо исключить т.к. не выполняется условие теоремы.

R график z как z=f(x₁, x₂)

N₀

R R N₁

N₁

Положение верхней и

Плохой график нижней части

F’x₁= -

F’x₂= -

Касательная плоскость

П усть функция z=f(М) дифференцируема в точке М₀ тогда к графику этой функции в точке N₀ (М₀;z₀)можно провести касательную плоскость с уравнением:

z - z₀= z’x_i (x_i- x_i0) причём плоскость единственная.

M₀

Модификация:

Пусть функция z=f(М) задана неявно соотношение F(z,x₁, x_2,…,x_n) в окрестности точки M₀, причем выполняются все условия теоремы о неявной функции, тогда к поверхности F(z,x₁, x_2,…,x_n) в точке N₀ можно провести единственную касательную плоскость с уравнением:

F’x_i (x_i- x_i0)+ F’z (z-z₀)=0

N₀ N₀

Пример 1:

z=x₁²+x₂², М₀(2;3) => z₀=13 =>N₀(2;3;13)

z’x₁=2 x₁=4

z’x₂=2 x₂=6

z-13=4(x₁-2)+6(x₂-3)

z=4x₁+6x₂-13

П ример 2:

z²-x₁²-x₂²=0

F(x_1, x_2, z)

М₀(1;3) =>N₀(1;3; ), F(N₀) 0

F ’z=2z=> F’z 2 0=> теорема о неявной функции верна.

N₀

F’x₁= -2 x₁= -2

F’x₂= -2 x₂= -6

Касательная плоскость

-2(x₁-1)+(-6(x₂-3))+2 +(z- )=0

-2x₁-6x₂+2 +20-20=0

Определение:

Нормалью к поверхности называется вектор перпендикулярный касательной плоскости.

Н ормали две: одна внешняя другая внутренняя.

Чаще всего в приложениях используются единичная нормаль, такая длина которой равна 1.

Координаты единичной нормали:

1)Поверхность в явной форме:

=

При переходе от точки к точке координаты нормали, вообще говоря, меняются.

2)Поверхность в неявной форме

=

Замечание:

П ри рассмотрении поверхности в неявной форме возможна ситуация, когда в точке N₀ все производные равны 0:

= … = =0

N₀ N₀ N₀

Такая точка N₀ называется особой точкой поверхности; в этой точке касательная плоскость и нормаль неопределены, а структура поверхности в окрестности этой точки может быть достаточно сложной – поверхность нельзя однозначно спроецировать ни на одну координатную плоскости.

Пример:

z²-x₁²-x₂²=0

N₀(0;0;0)

F(N₀) 0

=2z

= -2 x₁

= -2 x₂

В точке N₀ все эти производные равны 0 => N₀ особая точка поверхности

x₁²+x₂²= z² – круговой конус

z

U(0)

0

x₁ x₂

Однозначно спроецировать куски конуса в окрестности точки 0 на координатные плоскости невозможно -произойдёт наложение.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Отметим:

Поскольку частные производные сами по себе являются функциями тех же n-переменных, то они могут быть дифференцированными и от них тоже можно брать свои частные производные.

При этом возможны два случая:

1)Каждый раз дифференцирование ведётся по одной и той же переменной, такие производные называются «чистыми» и обозначаются:

или

2)Переменная, по которой ведётся дифференцирование, от раза к разу меняет наименование; такие производные называются смешанные и обозначаются следующим образом.

k+m+…+p=n

или

Теорема Шварца:

Если смешанные производные непрерывны а точке М₀, то их значение не зависит от порядка дифференцирования.

=

z=x₁⁴ x₂² +x₃⁵ x₂³ –x₁²

z’x₁=4 x₁³ x₂²- 2x₁

z’x₂=2 x₂ x₁⁴+3x₂² x₃⁵

z’x₃=5 x₃⁴ x₂³

z’’x₁²=12 x₁² x₂²- 2

z’’x₁ x₂=8 x₁³ x₂

z’’x₂x₁ =8 x₂ x₁³

z’’’ x₁ x₂²=8 x₁³

z’’’ x₁² x₂= (z’’x₁ x₂) x₁=24 x₁² x₂

Аналогично функции одной переменной для функций n-переменных можно ввести дифференцирование высших порядков.

:

=d f ’x_i dx_i= d( f ’x_i dx_i)= dx_i*d f ’x_i = dx_i( f ’’x_i x_j dx_j)=

= f ’’x_i x_j dx_i dx_j=d² f(M)

Замечание:

Если второй дифференциал считается в конкретной точке М₀ ,то все частные производные становятся числами, а сам второй дифференциал превращается в квадратичную форму относительно приращений независимых переменных.

Пример:

z=x₁³⁺x₁² x₂⁴ x₂³ +x₃³ М₀(1;2;1)

d ²z - ?

М₀

d ²z = z’’x_i x_j dx_i dx_j= z’’x₁² (dx₁ )²+ 2z’’x₁ x₂ dx₁ dx₂+ 2z’’x₁ x₃ dx₁ dx₃+ z’’x₂² (dx₂ )²+

М₀ М₀ М₀ М₀ М₀ М₀

+ 2z’’x₂ x₃ dx₂ dx₃+ z’’x₃² (dx₃ )² =

М₀ М₀

z’x₁=3 x₁²+2 x₁x₂⁴

z’x₂=4x₁² x₂³

z’x₃=3 x₃²

z’’x₁²=6 x₁+ 2x₂⁴=38

z’’x₂²=12 x₁² x₂²=48

z’’x₃²=6x₃=6

z’’x₁ x₂=8 x₁ x₂³=64

z’’x₁x₃ =0

z’’x₂x₃ =0

= 38(dx₁ )²+128 dx₁ dx₂+0 dx₁ dx₃+48(dx₂ )²+0 dx₂ dx₃+6(dx₃ )²

В полученном выражении приращение независимых переменных входят как аргументы, причём в каждое слагаемое суммарно во второй степени, (квадратная форма)

Аналогично, можно получить формулы для дифференциалов любого порядка:

= f ^kx_i x_jx_k dx_i dx_j dx_k

Для простоты при вычислении дифференциала k-ого порядка используется «биномиальная форма».

=( ^k f (k-понимается как степень)

Пример:

Найти дифференциал третьего порядка, если z=f(x₁ x₂ ) является функцией двух переменных.

=( ³ = (( )³+3( )² +3 ( )²+( )³)f =

= ( +3 +3 + )f=

=( +3 +3 +

§9