Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянным коэффициентом.

– Числа

Определение:

Пусть дано произвольное линейное однородное дифференциальное уравнение n-ого порядка с постоянным коэффициентом его характеристическим уравнением называется следующее алгебраическое уравнение:

степень, а не производная

Характеристическое уравнение:

Вид ФСР напрямую зависит от корней характеристического уравнения. У любого характеристического уравнения ровно n корней.

Они могут быть:

1)Вещественными

2)Комплексными (сопряжёнными)

3 )Однократные или кратные

не являются корнями являются корнями и

производной, но являются производной и уравнения

корнями уравнения

Основная теорема:

1) некратные, то

2) кратности, то , ,

3)

некратные

4) Кратна пара комплексных сопряжённых корней аналогично случаю 2.

Примеры:

1)

, где { , }- ФСР

Характеристическое уравнение:

=3

y= – общее решение

2)

,где { , }- ФСР

Характеристическое уравнение:

=>

y= - общее решение

3)

,где { , }- ФСР

=> комплексные некратные. =>

y= – общее решение

4)

, y(0)=1,

=>

y=

Подставим начальные условия:

=>

y= y= –(решение задачи Коши-единственное-оно есть)

§20