Поверхность уровня функции n-переменных.

Пусть функция n-переменных задана в некоторой области D n-мерного пространства. Пусть значение функции в точке М₀=С. Поверхностью уровня называется такая поверхность в n-мерном пространстве, которая проходит через точку М₀ ,и для которой значение функции в любой точке равно С.

z=f(M)=f(х₁, х₂,…, х_n) в D Еⁿ

f (M₀)=C , M₀ D

f(M)=C M поверхности

D f(M)=С

М₀ f(M₁)=С

М f(M₂)=С

М₂ М₁ и т.д.

Уравнение поверхности уровня:

f(M)=С

Пример:

z=x₁² +x₂² +x₃²

Уравнение поверхности уровня:

z=C  x₁² +x₂² +x₃²=C – сфера R=

z=х₁ х₂

У равнение поверхности уровня:

х₁ х₂=C – гипербола

Отметим:

В двухмерном пространстве поверхность уровня становится обычной линией. Её называют «линией уровня»

Теорема:

Градиент в точке M₀ перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку.

grad f

М₀

М₀ f(M)= f(M₀)=С

Пример:

z=x₁² +x₂² M₀(1,2)

1)Найти поверхность уровня через точку M₀.

2)Градиент в точке M₀.

z(M₀)=5=С

x₁² +x₂² =5 – линия уровня

f =(2,4)

М₀

х₂

2 М₀

1 х₁

§7