Экстремум функции n-переменных

Определение экстремума функции n-переменных принципиально ничем не отличается от определения для функций одной переменной.

Необходимое условие экстремума.

Отметим:

Функцию f(M) будем считать, по крайней мере, дважды дифференцируемой.

Если в точке М₀ есть экстремум, то все частные производные обращаются в ноль (градиент в точке М₀ становится нулевым вектором)

Точки подозрительные на экстремум называется стационарными.

Достаточное условие экстремума.

Отметим:

Смена знаков производных, при переходе через стационарную точку для многомерного случая не работает.

Наличие или отсутствие экстремума в стационарной точке зависит от поведения второго дифференциала в этой точке, как квадратичной формы от приращения переменных.

Теорема:

П усть точка М₀ стационарная точка функции. Если:

1)Второй дифференциал в точке М₀ больше нуля, то точка М₀ – точка минимума. >0 => точка М₀-точка min

М₀

2)Второй дифференциал всегда меньше нуля, то точка М₀ – точка максимума. < 0 => точка М₀-точка max

М₀

3 )Второй дифференциал то больше нуля то меньше нуля, то в точке М₀ нет экстремума.

то>0,то< 0 =>в точке М₀ нет extr

М₀

4 )Второй дифференциал больше нуля, но иногда равен нулю (меньше нуля, но иногда равен нулю)

>0 ,но иногда = 0 (< 0, но иногда = 0) ( неизвестно есть экстремум, или нет)

М₀

Отметим:

Исследовать - напрямую достаточно сложно, поскольку приращение аргументов бесконечно много.

Для случаев 1) и 2) есть удобная методика, но для 3) и 4)

Определение:

Матрицей Гессе называется следующая квадратная матрица:

)_nxn – эта матрица всегда симметрична относительно главной диоганали.

М₀

Главным минором этой матрицы называются миноры, примыкающие к левому верхнему углу.

Если:

1)Все главные миноры строго больше нуля, то второй дифференциал тоже больше нуля, и в точке М₀ минимум.

2)Главные миноры чередуют знак (-+-+-+) то главный дифференциал меньше нуля и в точке М₀ максимум.

Замечание:

Для случая двух переменных матрица может дать ответ и в случае 3) и 4):

3)Если второй главный минор меньше нуля, то экстремума нет.

4)Если второй главный минор равен нулю, то? (ничего неизвестно)

Пример:

z=x₁³+x₂³-3x₁ x₂

Найти экстремумы

1 )Необходимое условие экстремума.

, 3x₁²-3x₂=0

• стационарная точка М₁(1;1) М₂(0;0)

, 3x₂²-3x₁=0

2)Достаточное условие экстремума.

=> A

а) М₁(1;1)

точка М₁- точка локального минимума.

б) М₁(1;1)

экстремума нет

Отметим:

Разновидностью экстремальных задач является две часто встречающиеся задачи:

1)Задача Условного Экстремума (ЗУЭ)

2)Задача Оптимизации (ЗО)

§11