Задача Условного Экстремума

Пусть функция z= f(M) задана в некоторой области D Eⁿ .Пусть на точку М наложены некоторые ограничения

 x_1, x₂... x_n)=0

x_1, x₂... x_n)=0 (m< n)

x_1, x₂... x_n)=0

Найти экстремум функции, но только среди тех точек, которые удовлетворяют указанным ограничениям.

Замечание:

Ограничения, наложенные на точку, называют условиями связи.

Методы решения условного экстремума.

1)Из условий связи выражают независимые переменные (m-штук) и подставляю в исходную функцию, при этом задача условного экстремума - задача обычного экстремума в пространстве меньшей размерности.

Недостаток:

Аналитически выразить переменные из условия связи невозможно.

2)Метод множителей Лагранжа.

Определение:

Пусть дана задача условного экстремума, функцией Лагранжа этой задачи называется следующая функция:

L(M, )=f(М)+ , где Λ= вектор множителей Лагранжа, пока некоторые независимые числа.

Теорема:

Если в точке М₀ функция z= f(M) имеет условный экстремум, то он совпадает с обычным экстремумом функции Лагранжа, обратное неверно.

Алгоритм решения методом множителей Лагранжа.

1)Необходимое условие условного экстремума.

, i=1…n

m-условий, m+n – уравнений

Из полученной системы определяется координаты возможных точек условного экстремума, а также соответствующие им множители Лагранжа.

2)Достаточные условия условного экстремума.

2.1) В L(M, ) подставляется вектор :L(M, ).

2.2)Дифференцируется условие связи m- дифференциалов

2 .3)Из системы дифференциалы линейно выражается дифференциалы m независимых переменных через дифференциалы оставшихся n-m.

2 .4)Берём второй дифференциал функции Лагранжа L(M, ) и в него подставляют выраженные дифференциалы из пункта 2) 3). M₀

2.5)Полученный уменьшенный второй дифференциал (M, ) исследуют на знакоопределенность обычными методами, например с помощью матрицы Гесса. M₀

Пример:

z=x₁²+x₂²

У словие связи: х₁+х₂-2=0 решить задачу условного экстремума

x_1, x₂)

Составим функцию Лагранжа.

L(x_1, x₂) имеет вид = x₁²+x₂²+ (х₁+х₂-2)

1. Необходимое условие условного экстремума

2 х₁+ =0 = -2

2х₂+ =0 => х₁=1 => M₀(1;1)стационарная точка – в ней может быть условный экстремум = -2

х₁+х₂-2=0 х₂=1

Достаточное условие экстремума

2.1) L(x_1, x₂,-2)= x₁²+x₂²- 2х₁-2х₂+4

2.2) d(х₁+х₂-2)=0

dх₁+dх₂-d(2)=0 => dх₁+dх₂=0

2.3) Выражаем один дифференциал через другой

dх₁= -dх₂

2.4)

L= +2 d x₁d x₂+ (d x₂)²

=2; =2; =0 =>

L(M₀,-2)= +2*0*d x₁d x₂+2

= +2*0*(-d x2)d x₂+2 =4

2.5)

=4 всегда > 0 => в точке M₀(1;1) условный минимум.

Г рафическая иллюстрация.

2 2

M₀(1;1) условный минимум

§12