5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования»

В общем случае уравнение, не разрешенное относительно производной

(1)

представим в эквивалентном виде

(2)

Ищем решение в параметрической форме Учитывая первое соотношение (2), найдем дифференциал функции F:

. (3)

Используя связь dy = t dx, исключим последовательно dy и dx в выражении (3). В результате приходим к системе двух дифференциальных уравнений

(4)

Если удается решить эту систему, то решение исходного уравнения (1) получается

в параметрической форме x = x(t), y = y(t).

Замечание 1 . При использовании данного метода возможна потеря отдельных решений (этот вопрос надо исследовать дополнительно).

Замечание 2. Этот метод особенно удобен, если уравнение (1) легко разрешается относительно у (или х). Тогда, дифференцируя полученное выражение по х (или по у) и, считая t функцией от х (или от у), получим уравнение, разрешенное относительно производной.9

П р и м е р 10. Проинтегрировать уравнение

Полагая , находим Дифференцируем по х, считая t функцией от х и заменяя через t, имеем

или

Отсюда следуют два уравнения:

и

Из первого уравнения t = x + C. Подставляя это в подчеркнутое выражение для у, находим общее решение

Подставляя туда же, получим особое решение

Если из исходного уравнения выразить х, то полученное выражение следует

дифференцировать по у, считая t функцией от у и заменяя на .